Question

悠

指針に重解s、tが重解を持つと書いてありますが、なぜですか？重解を持たない場合や、s、tのどちらかが三重解である可能性はないのですか？

364
演習 231 4 次関数のグラフと2点で接する直線
(顔埼玉)
指針
次の1~3の考え方がある(ただしf(x)の考え方で
解答
よう。
1点(fr)) における接線が、y=f(x)のグラフと点(s,f(s))で投する。
[3] y=f(x) のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x1 の点で接するとして、
[2]点((s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
f(x)=mx+n が重解 s, tをもつ。 →(x) (mx+n)=(x-s)(メー
y=x(x-4)のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x=t
(sat) の点で接するとすると,次のxの恒等式が成り立つ。
x(x4)-(mx+n)=(x-3)(x-1)2
(左辺) =x4x3-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-1)}={x2-(s+t)x+st}2
=x^+(s+t)x2+s212-2(s+t)x-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+t)x+{(s+t)"+2st}x2-2(s+t)stx+s242
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
演習
237
曲線C:y=x
けるとき、定数
針
3次
曲線
そこ
を通
C
y=
に
①, 0 = (s+t)'+2st
-m=-2(s+t)st
①から
③, -n=s'te ...... ④
s+t=2
これと② から
③から m=-8
④から
②.
下の際は、
の考え方による
ある。
st=-2
n=-4
u=1±√3
s, tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと
よって, y=x(x-4)のグラフとx=1-√3, x=1+√3 の
点で接する直線があり、その方程式は
y=-8x-4
stを確認する。
別解 y=4x3-12x2 であるから, 点 (t, f (t-4)) における接線の方程式は
ソード(t-4)=(4t-12t2)(x-t) すなわち y=(4t-12f2)x-3t+8t3
(*)
この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4)のグラフと接するための条件は、方程
x-4x3=(4f3-1212x381がもと異なる重解sをもつことである。
これを変形して (x-2)+2(1-2)x+31-81)=0
よって, x2+2(t-2)x+3t-8t=0
Aが, tと異なる重解sをもてばよい。
④の判別式をDとすると
D t-2)²-1 (312-8t)=-2(t²-2t-2)
とすると
t-2t-2=0
これを解くと t=1±√√3
このときAの解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順)
43-12t2=4(t2-2t-2) (t-1)-8=-8
t=1±√3はピ-2t-2=0を満たし
よって
s≠t
-3t+8t=-(t2-2t-2) (312-2t+2)-4=-4
ゆえに, (*) から
y=-8x-4
練習
④ 231
曲線 C: y=x-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
す

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

長飛丸とら

誤解を恐れずにいうと
接するのも交わるのも2つのグラフの交点です
交点を求めるのに2つのグラフの式の連立方程式を解きます。
その解でxが2個でたら2点で交わり、1個なら1点で交わり、解がなければ交わらないということです。
xが2個でるということは(x - 1 )(x - 2)=0 のようになってx = 1 , 2 とでます
xが1個でるということは(x - 1 )(x - 1)=0 のようになってx = 1 とでます
しかし、通常は(x - 1 )(x - 1)=0 は ( x - 1 )^2 = 0　と書きます。これが重解です

なので4次関数で2点で接するということは、直線との連立を考えたときに
(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)=0
のようにならないといけません。

もしかしたら
(x-1)(x-1)(x-1)(x-2)=0の場合もあるのでは?という疑問でしたら
x=2は重解ではないので、単純にx=2をx座標とする座標があるというだけで突き抜けます

長飛丸とら

追記

参考までに問題の
y = x^3(x-4)のグラフですが
x^3(x-4) = 0 より　x = 0 , 4　となり
x軸で交わる場所を表しています

これは
y = x^3(x-4) と
y=0 つまり　x軸そのものとの交点を表しています

連立方程式
x^3(x-4) = 0　を解いて交点を求めているだけです。
もっといえば
x・x・x・(x-4) = 0
x = 0 , 0 , 0 , 4 と解が4つあります

x = 0 の部分ではx軸は接線となっていますが、
x = 4 の部分では接線とはなっていません。

このあたりの理解が必要かと思われます。　

悠

丁寧な解説ありがとうございます！一番理解しやすかったのでベストアンサーにさせていただきます。

長飛丸とら

ありがとうございます。

たた、私の解説は具体例の解説で一般的ではありませんので、私の解説でイメージが理解できましたら、和さんの解説をしっかり理解する必要はあります。

特に、f ’（a）=g ’（a）が何を表しているか？、そしてこれが接点ならば、なぜ、因数として（ x - a ）²　が必要なのか？
といった部分の理解を含め、和さんの解説をじっくり読み込んで理解に努めてください。

そうすれば、更に理解が深まると思います。

悠

わかりました！

Answer 2

和

この4次式の話以前に、2次式の場合で
　x=αで接する ⇔ 重解x=α ⇔ (x-α)²が因数
という事実をどこかでやっているのではないかと思います

そのため、指針3のような話になります

曲線f(x)とg(x)がx=αで接するということは
f(α)=g(α)かつf'(α)=g'(α)ということでした
つまりf(α)-g(α)=0かつf'(α)-g'(α)=0です
因数定理より、f(x)-g(x)は(x-α)²を因数にもつことを意味します

悠

2次式の場合は、接線がグラフと1点で交わることから理解できますが、4次式では上手く理解できません。

和

理屈は同じです
2次式の場合が理屈から押さえているということなら
わかるはずなので、同様に考えてみてください

4次関数f(x)の曲線と直線g(x)がx=sで接するということは、
4次関数f(x)-g(x)が(x-s)²を因数にもつということです
4次式が(x-s)²P(x)=0の形になるということです

さらにx=tでも接するならP(x)が(x-t)²を因数にもち、
都合、4次式が(x-s)²(x-t)²=0の形になるということです

和

2次式の場合は理解できるとのことですが、
上で答えたような、それなりにきちんとした理解によれば、
話は4次の場合にもつながります

「接する」ことから「(x-α)²を因数にもつ」ことへの説明も
それなりにきちんとしたつもりです

どうか、そこのところを真摯に受け止めてもらえると助かります
わからなければ、それを聞いてもらいたいです

悠

(x-α)²を因数にもつ、この理由が理解しにくいです

和

上で答えた、「曲線f(x)とg(x)がx=αで接する
⇔ f(α)=g(α)かつf'(α)=g'(α)
つまりf(α)-g(α)=0かつf'(α)-g'(α)=0
因数定理より、f(x)-g(x)は(x-α)²を因数にもつ」
の最後のところでしょうか？

条件の1つ目:f(α)-g(α)=0ということは、因数定理から
f(x)-g(x)がx-αを因数にもつということです
よってf(x)-g(x) = (x-α)P(x)……◎ と因数分解できます

ここで、本来数Ⅲですが数Ⅱでもよく取り上げられる
「積の微分」により、f(x)-g(x) = (x-α)P(x)をxで微分して
f'(x)-g'(x) = P(x)+(x-α)P'(x)……☆ です

もう一つの条件f'(α)-g'(α)=0より、☆にx=αを入れると
f'(α)-g'(α) = P(α) = 0
つまり、因数定理によりP(x)はx-αを因数にもつので
P(x)=(x-α)Q(x)と書けます

これを◎に代入してf(x)-g(x) = (x-α)²Q(x)です