168 0<aくbのとき, (a+1)e"(b-a)< be"-ae" であることを示せ。
(岡山県立大)
S(x) = xe* とおくと, f(x) は x>0 で連続かつ微分可能であるから,
0<aくb のとき,区間 [a, b] で連続, 区間 (a, b) で微分可能である。
f'(x) = e* + xe* = (1+x)e* であるから, 平均値の定理により
be - ae"
この等式の左辺は, 関数
f(x) = xe* の
aSxSb における平均
変化率を表している。
= (1+c)e°, aくcくb
…0
b-a
を満たすcが存在する。
また
f"(x) =D e* +(1+x)e* 3 (2+x)e*
x>0 のとき f"(x)>0 より, S'(x) は x>0 の範囲でつねに増加する。
よって,0<a<cより
f'(x) が単調増加である
から,0<a<c のとき
f(a)<f'(c)
beo - ae"
0, 2より
6-a
b-a>0 より
(a+1)e°(b-a) < be"-ae"
両辺に6-a(>0) を掛け
る。
