るとき
a (b=
2815が無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると, 5 が無理数でないと仮定し
5は1以外に正の公約数をもたない自然数m,n を使って
て矛盾が生じることを示す。
m
√5= と書ける。この式の両辺を平方して分母を払うと,
n
m²=5n²....・・ ①
となり²は5の倍数である。
したがって,も5の倍数となるから、 ある自然数kを用いて
m=5kと表される。
これを①に代入すると,
25k²=5n², すなわち, n2=5k2
となりが5の倍数であるからも5の倍数となる。
したがって、mとnはともに5の倍数であり, 1以外に正の公約
数をもたないことに矛盾する。
よって、√5は有理数ではなく、無理数である。