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重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
f(x)=x-6x2+9xとする。 区間 α ≦x≦a +1 におけるf(x) の最大値 M(α) を
めよ。
指針 まず, y=f(x)のグラフをかく。 次に, 幅1の区間a≦x≦α+1をx軸上で左側から協
しながら, f(x) の最大値を考える。
なお、区間内でグラフが右上がりなら M (a) = f (a+1), 右下がりなら M (a)=f(a)
また,区間内に極大値を与える点を含めば, M (α) = (極大値) となる。
更に,区間内に極小値を与える点を含むときは, f(α)=f(α+1) となるαとαの大小に
より場合分けをして考える。
NA
CHART 区間における最大･最小 極値と端の値をチェック
解答
f'(x)=3x2-12x+9
=3(x-1)(x-3)
f'(x)=0 とすると
増減表から, y=f(x)のグラフは
図のようになる。
[1] a+1<1 すなわち a <0のとき
M(a)=f(a+1)
=(a+1)³−6(a+1)²+9(a+1)
=a³-3a²+4
[2] a <1≦a+1 すなわち
0≦a <1のとき
よって
x=1,3f(x)
a=
9+√33
6
以上から a < 0,
① [4]
X
f'(x) +
(-9)±√(-9)-4・3・4 9±√33
2･3
6
2 <a <3であるから,5√33 <6に注意してα=
[3] 1≦a<
9+√33
6
練習
⑤ 214 めよ。
≦αのとき
1
0
|極大
4
yA
4
0≦a <1のとき M (α)=4;
1≦a<
[2]
9+√33
6
a01
a+1
M(a)=f(1)=4
次に, 2 <α<3のとき f(α)=f(α+1) とすると
α3-6a²+9a=α3-3a²+4 ゆえに 3²-9a+4=0
3
0 +
|極小|
20
y=f(x) |
[3]
[4]
-1-
a3a+1x
のとき M(α)=f(a)=α-6a²+9a
9+√33
6
M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4
9+√33
6 ≦aのとき M (a)=a²-3a²+4;
のとき M (a)=α-6a²+9a
[1] 区間の右端で最大
YA
4
/11
1
1
1
4F
基本213
1
a 01 3
Na+1
[2] (極大値) = ( 最大値)
YA
4F
最大
Oa 1 3
20.01 +1
[3] 区間の左端で最大
"1
11
7
V
1/
atl
最大
7
a 31
a+1
[4] 区間の右端で最大
YA
ya.
/3
1
a
f(x)=x-3x²9x とする。 区間 t≦x≦t+2 におけるf(x) の最小値m(t) を求
