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重要 例題170 曲面上の最短距離
OOOO0
E
右の図の直円維で、H は円の中心,線分 ABは直径,
0
114
OH は円に垂直で、OA=a, sin0=
;とする。
3
点Pが母線 OB上にあり、PB=
とするとき、
点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短経
路の長さを求めよ。
115
基本149
指針
直円錐の側面は曲面であるから,そのままでは最短経路は考えにくい。そこで,曲面を広
げる、つまり 展開図 で考える。→側面の展開図は扇形となる。
なお,平面上の2点間を結ぶ最短の経路は,2点を結ぶ線分 である。
11
解答
「AB=2r とすると,△OAH で、AH=r, ZOHA=90°,
sin0=
号であるから
と_1
3
¥1
a
側面を直線 OA で切り開いた展開図
は、図のような,中心 0,半径
OA=a の扇形である。
中心角をxとすると,図の弧 ABA’
の長さについて
B
P
A
A(A) A
2元a
=2元r
360
4弧ABA'の長さは、底面の
円Hの円周に等しい。
ニ=であるから
1
x=360°ニ=360°+ -
3
=120°
a
3
a
ここで,求める最短経路の長さは,図の線分 APの長さである| 2点S, Tを結ぶ最短の経路
から,AOAP において,余弦定理により,
AP=0A?+OPp"-20A·OPcos60°
は、2点を結ぶ線分 ST
1
7
2a.
2
AP>0であるから, 求める最短経路の長さは
4。
練習
1辺の長さがaの正四面体 OABCにおいて,辺AB,
の170| BC, OC上にそれぞれ点P, Q, Rをとる。頂点0から、
P, Q, R の順に3点を通り,頂点Aに至る最短経路の
長さを求めよ。
A
P
p.264 EX124
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II
く
