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重要 例題 224 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
00000
f(x)=x-6x2+9x とする。 区間 a≦x≦α+1 におけるf(x) の最大値 M(a)を
求めよ。
ながら、f(x) の最大値を考える。
場合分けをするときは,次のことに注意する。
この例題は, 区間の幅が1 (一定) で, 区間が動くタイプである。
熊本22
まず、(3)の人。次に、区間の巻き舌の先を軸上でだ
左側から移動し
A 区間で単調増加なら, 区間の右端で最大。
⑧ 区間で単調減少なら、区間の左端で最大。
両極値をとるxの値がともに区間に含まれることはないから
区間内に極大となるxの値があるとき,極大となるxで最大。
① 区間内に極小となるxの値があるとき, 区間の両端のうちf(x)の値が大きい方
で最大→区間の両端で値が等しくなる場合が境目となる。 すなわち,
とαの大小により場合分け。
(1)M
最大人
最大
f(x)=f(a+1) となる
または
[ [2] a<la+1 すなわち
0≦a<1のとき
f(x) はx=1で最大となり
M(a)=f(1)=4
次に、2<a<3のとき
f(a)=f(a+1) とすると
a-6a²+9a-a³-3a²+4
3a2-9α+4=0
ゆえに
よって
a=-
[2]y
357
最大
<指針の◎ [区間内に極大
となるxの値を含み、そ
Na+1
-(-9)±√(-9)2-4.3.4 9±√33
2.3
2<a<3と5<√33<6に注意して
[3] 1≦a<
9+√33
6
のとき
f(x) は x=aで最大となり
M(a)=f(a)=a-6α²+9a
6
a=
= 9+33
[3] y
のxの値で最大] の場合。
①acl
Olzati
0≤a
①.②から
+1
指針の® (区間で単調減
少で、 左端で最大] また
は [区間内に極小とな
るxの値がある] のうち
区間の左端で最大の場合。
解答
f'(x) =3x2-12x+9
=3(x-1)(x-3) (y=f(x)
f'(x) =0 とすると
x=1,3
f(x) の増減表は次のようになる。
4
X
1
3
....
f'(x) +
0
0 +
f(x) 大
101
[極小|
0
の
| 解答の場合分けの位置のイ
メージ
y=f(x)】
[3]
x
a 01
a 3a+1x
a+1
よって, y=f(x)のグラフは右上の図のようになる。
ゆえに, f(x) の a≦x≦a+1 における最大値M (α) は, 次
のようになる。
9+√33
[4] 6
αのとき
f(x)はx=a+1で最大となり
M(a)=f(a+1)=a-3a²+4
a+1
指針の [区間内に極小
となるxの値がある] [の
最大
La+1
a+1
うち、 区間の右端で最大
の場合、 または指針の
区間で単調増加で、 右
端で最大 ] の場合。
以上から
a <0.
9+√33
6
≦a のとき M (a)=a-3a²+4
0≦a<1のとき M (α)=4
1≤a<
9+√33
6
のとき M(a)=a-6a²+9a
3次関数のグラフの対称性に関する注意
p.344 の参考事項で述べたように, 3次関数のグ
検討
ラフは点対称な図形であるが, 線対称な図形で
はない。 すなわち, 3 次関数がx=p で極値をと
あるとき、3次関数のグラフは直線x=pに関して
対称ではないことに注意しよう。
a+(a+1)
3次関数の
放物線
グラフ
6章
最大値・最小値、方程式・不等式
[1] α+1 <1 すなわち α <0の
とき
[1]
指針のA [区間で単調
[ 上の解答のα の値を, 2
=3から
対称ではない
(線) 対称
加で,右端で最大] の場
-最大
=1/2としてはダメ!】
f(x)はx=α+1で最大となり
合。
M(a)
なお、放物線は軸に関して対称である。このことと混同しないようにしておこう。
練習 f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2におけるf(x)の最小値 m (t) を求め
3
Na+1
小
③ 224 よ。 TAN
=f(a+1)
=(a+1)-6(a+1)+9(a+1) a O 1
=a³-3a²+4
