例題漸化式の応用
19 AB=2,BC=3,∠ABC=90°の直角三角形A
ABC の内部に,図のように正方形 P1, P2, P3,
・を次々に内接させていくとき, 正方形
Pの面積Sを求めよ。
解答 Pの1辺の長さをαとし, 図のように点 Cn,
Cn+1, D を定めると
CnDn-an-an+1, DnCn+1=an+1
△ABC∽△C D C +1 であるから
P1
P2
B
P3
Cn
DC+1
an
Pn
an+1
P+1/
0
AB:ChDn=BC: DnCn+1
すなわち •2: (an-an+1)=3: an+1
3
よって
an+1=an
5
また, 2: (2-α)=3:α から
a₁
6
5'
数列{an} は初項 105,公比 2013 の等比数列であるから
ani
==
6/3\n-1
55
3n2
9
n
したがって Sn=an²=20
=4l
25
C