- 54 第4章 極限
例題 19/次の条件によって定められる数列{an} の極限を求めよ。
a=1, az=2, 5an+2=6an+1-an (n=1, 2, 3, …)
漸化式(隣接3項間)と極限
pan+2+qan+1+ran=0 において, px?+qx+r=0 の2つの解をa, Bとすると
an+2-2an+1=8B(an+1-can), an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) と変形できる。
指針
与えられた漸化式を変形すると
an+2-an+1=(an+1-an)
解答
したがって, 数列 {an+1-an}は初項 a2-a=1, 公比一の等比数列である。
1n-1
よって
an+1-an
1
また
an+2"
50n+1=an+1
an
5
ゆえに
1
an=a2
9
2
an+1
5
0.のより 吉の一一(4)
--0-
したがって a ())
1
n-1
9
an
5
5[9
415
5
5
5/9
4\5
9
ゆえに
lim an
4
参考 ①より, {an} の階差数列の一般項 bn は
bn=
5
三
I-u
n-1/1 \k-1
よって, n>2 のとき
an=ai+>
k=15
5
lim an=1+
9
(1-0)
4
ゆえに
n→o
