-
![]()
544
OOOO0
基本 例題107 数列の和と一般項,部分数列
初項から第n項までの和 S, が S,=2n-nとなる数列{an}について
(2) 和atas+as+…+azn-1を求めよ。
基本 129
(1) 一般項 anを求めよ。
p.538 基本事項4
指針>(1) 初項から第n項までの和 Snと一般項 an の関係は
Sn =a」+az+……+an-1tan
-) Sn-1=a」+a:+……+an-1
S-Sn-1=
a=S
n22のとき
ゆえに
a,=S,-Sn-1
An
n=1のとき
数列の和 S, が n の式で表された数列については、この公式を利用して一般項 an を求め
る。
O まず 一般項(第々項)をたの式で表す
第1項,第2項,第3項,
(2) 数列の和 一→
*………,第々項
a1,
ds,
as,
Azk-1
であるから,anにn=2k-1を代入して第ん項の式を求める。
なお,数列 a, as, as, ……, azn-1のように、数列 {an} からいくつかの項を取り除いて
できる数列を,{an} の 部分数列という。
解答
(1) m22のとき
4,=S,-Sn-=(2n-n)-{2(n-1)°-(n-1)}
の
AS,=2nーnであるから
Sa-1=2(n-1)°-(n-1)
=4n-3 ………
A=S;=2·12-1=1
ここで、Oにおいて n=1とすると
よって,n=1のときにも①は成り立つ。
また
0 初項は特別扱い
a=4·1-3=1
4anはn21で1つの式に表
される。
したがって
a,=4n-3
4azk-1は an=4n-3 におい
てnに2k-1を代入。
(2)(1)より,ak-」=4(2k-1)-3=8k-7であるから
a,+as+as+……+azn-1=2a24-1=E(8k-7)
k=1
k=1
=8n(n+1)-7n=n(4n-3)
イEk, E1の公式を利用。
(検討)n21でa,=S,-S-1となる場合
例題(1)のように,an=Sn-Sn-1でn=1とした値と a,が一致するのは, Snの式でn=0とした
とき So=0 すなわち n の整式 S,の定数項が0 となる場合である。もし,Sn=2n°-n+1(定数
項が0でない)ならば、a」=S,=2, an=Sn-Sn-1=4n-3(n22)となり,4n-3でn=1とした
値とa,が一致しない。このとき,最後の答えは「a,=2, n22のとき a,=4n-3」と表す。
練習
初項から第n項までの和 Sn が次のように表される数列 {an} について,一般項
107
| an と和a,+a;+art…+asn-2 をそれぞれ求めよ。
(1) S=3n°+5n
(2) S=3n?+4n+2
