数学IIです 問題がcos(α＋β)sin(α−β)=sine α cos α−sin β cos α の等式を証明する問題です。写真は答えなのですが、赤いアンダーラインが引いてあるところが、その次の=で消えています。どうやって計算したらこの赤いアンダーラインの（）の部分が... 続きを読む

一方, tana=2>1より,αであるから a+ B + r> したがって α + B + r = 14 21=1+1+0 298 (1) 左辺 = (cosa cosẞ- sin a sin ẞ) X(sin a cosẞcosa sin ß) = sin a cosa cos² ß - cos² a sin ß cosẞ - sin² a sin ẞ cosẞ + sin a cosa sin ²ß = sin a cosa (cos² ß + sin 23) -sin ẞ cos ẞ(cos² a + sin² a) = sin a cosa - sin ẞ cosẞ= したがって cos(a+B) sin (a-3)= sin a cosa - sin ẞ cosẞ

二次方程式の解き方なのですが、解説の四角で囲っているところの意味が分かりません。 どういう風に考えたらそう成り立つのか教えていただきたいです。

応用問題 2次方程式(x+1)x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2Xx+1)=0の 2つの解をα βとするとき、次の式の値を求めよ. 1 + 1 + 1 (a-2X8-2) (a-1XB-1) (a+1X8+1) [0 この2次方程式のxの係数は3であるから, 次の等式が 成り立つ. (x+1)x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2)x+1) =3(x-α)(x-β)=3{-(α-x)}{-(β-x)}この式がポイント!! =3 (α-x)β-x) ...... ① ****** ①の両辺にx= 2 を代入すると, (2+1X2-1)=3 (α-2Xβ-2) 3=3(α-2XB-2) ①の両辺に x=1 を代入すると (1-2X1+1)=3(α-1Xβ-1) -2=3(α-1)(β-1) ①の両辺にx=-1 を代入すると 以上より, .. (a-2XB-2)=1 .. (a-1X8-1)=-3 / (−1−1)−1−2)=3(α+1)β+1) 6=3 (α-2Xβ-2) .. (a+1X8+1)=2 1 (a-218-2) + (a-1X8-1) + (a+18+1) =1-1/21+1/2=2

α‬が上の式でマイナス着いているのに両辺をα‬で割ってることが分からないのと、α‬で割ったとしてもマイナスが右辺に残ってKiの符号がそのままになっているのが分からないです！！教えてください！！

例題 C2.35 直線, 円の接線の方程式 同 (1) 複素数平面上の異なる2点α βを通る直線の方程式は, (a-z-(a-β)z+ap-ap=0であることを証明せよ。 **** (2) 複素数平面上において, 原点を中心として、半径の円周上の点 A(α) における接線の方程式を求めよ。 p 考え方 (1) A(a), B(β) を通る直線上の任意の点P(z)について.. 3点A, B, P が同一直線上にある wwwwww z-a 実数 1画素 a z-a z-a ⇔ B-a B-a (2) 接線上の任意の点をP(z) とすると, OA-AP または z=α より OR arg π ga = または z-α=0 0-a z-a -は純虚数または 0 A(a) P(z) a 2-a za ⇔ a a && $ 1 si 解答 (1) 複素数 α βが表す点をそれぞれ A, B とする. 1960 また, 2点A,Bを通る直線上の任意の複素数zが表 す点をPとすると, 3点 A, B, Pが同一直線上にある ための条件は, (-)-si za=k(β-α) (hは実数 α =β より 両辺を β-α で割って, B-a は実数より 018 za z-a z-a (0 B-a B-a B-a 両辺に (β-α) (B-α) を掛けて, = +8)(za)(Ba)=(za)(β-α) (Ba)z(Ba)a=(β-a)z-(β-α)a (a-Bz-(α-β)x+aβ-aβ=0 その感 (2)点Aにおける接線を l とする。 また, l 上の任意の複素数 z が表す点をPとする. l P (z) A(a) r OA⊥AP または z=α より Pは原点Oを点Aのまわりに 今だけ回転して点Aからの距 離を倍 (≧0) した点である. (a) P(z) 059+isin 9) zが実数+isinnf 1- ← z=z ブルの 画 20007 ここからすぐに, za は純虚数また a P(z) は0としてもよい.

なぜ、直線Mにおいての任意の複素数をZと表すことができるんですか？？直線Lの方でもZが使われてて違うものなのになぜ同じ文字でおけるのか教えて欲しいです！！

B(β) z-a z-a よって, 7-B Y-B. Think 例題 C2.36 垂線の方程式,垂心 **** 複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(a),B(β),C(y) を 定める. ことを証 (1) 点Aから直線 BC に垂線lを引くとき, この垂線ℓ上の任意の点 D1S P(z)について、z-a=By (2-2) が成り立つことを証明せよ。 (2) △ABCの垂心を α, β, y で表せ. 考え方 (1) 点A(a),B(3), C(y), P(z) について,|a|=|β|=|y|=1 解答 APLBC または z=a z-a (山形大改) (2) 点Bから直線CAに垂線を引くとき,この垂線上の任意の点Q (ω) について (1) 1-1が純虚数または01-8=-1 と同様の式が成り立つ垂心は z=w となる複素数である. (1) Pは垂線上の点なので, AP⊥BC または z=α より z-a -は純虚数または 0 Y-B (A(α)→0(0) とな [B(B) → 0(0) るように平行移動す Pzると,P,Cは、それ A(α)ぞれ [P(z)→P (z-a) IC(y)→C^(-3) YA P 1. 0 -1 1 上にある であるから, C(r)-1=0 に移る. z-a z-a A 7-B Y-B 両辺に y-βを掛けて, P'(z-a) z-α=-(y-β) (28) Ala ・① ここで, 3点A(a),B(β), C(y) は単位円周上の点よ り |a|=|β|=|y|=1 C'(r-B) よって, zキαのと したがって,|a|=||=|y|=1 であるから, OP OC を aa=βB=yy=1より, 0のまわりに今だ a= B= y= .....2 a B' A (0-8)=0 け回転して実数倍 したベクトルより ②①に代入すると, Z z-a=-(y-β) =BY (1) 1 1α18 8 2- a a =(β-y)- B-Y B BY よって 00: Z ・③ となり、題意は示された「円 z-a=k cos a=k(cos +isin(7-8) RY=ki(7-8) は0でない実数) よって zaki (純虚数 または0) CES ③は直線lの方程式 (1+1を複素数で表現した 2

写真1枚目上部にある疑問点についてお答えしていただきたいです。（詳しくは2枚目にあります。）　 また写真1枚目下部の　？　をつけているところの説明がよくわかりません。不等式でよく言われる式に全部等号つけるのはいいけど全部不等号にするのはだめだよね的なことでしょうか？

例題103 文字係数の2次不等式の解 次のxについての不等式を解け。ただし, x-(a+a)x+a'≤0 は定数とする。 基本 31.87,88 重要 105 HART SOLUTION 係数に文字を含む2次不等式 2次方程式の解の大小関係に注意して場合分け 左辺は因数分解できて (x-a)(x-a)≤0 <βのとき (xa)(x-3) ここではα,Bがともにαの式で表されるから,ととの大小関係で場合が分かれる。 解答 不等式から x²-(a+a)x+ a³ ≤0 したがって (x-a)(x-2)≦0 ④ [1] a<a のとき a²-a>0 5 a(a-1)>0 よって a≤0, 1<a このとき、①の解は a≤x≤a² なぜa-acoでは だめなのか ① [2] a=a' のとき a²-a=0 5 よって α=0 のとき a=1のとき ■ [3] a>αのとき a²-a<0 5 a(a-1)=0 a=0,1 ①はx0 となり ①は (x-1)2≧0となり ala-1)<0 x=0 x=1 3 11 2 たすき掛けを利用すると 次 -a 不 -a²-a² 1 a³ -(a²+a) I αの値を ① に代入。 (x)20を満たす解 はxのみ。 よって 0<a<1 このとき,①の解は a² ≤ x ≤a 以上から 0<a <1 のとき a²≤x≤a a=0 のとき x=0 α=1のとき x=1 a < 0, 1 <α のとき x 0≦x≦ x = 0, 1≦x1 は x=1 を表すから,解は ≦a≦のとき a²≤x≤a α < 0, 1 <a のとき a≤x≤a² と書いてもよい。

（1）、なぜ2つの解が条件なのに判別式に=含むんですか？🙇‍♂️

基本 例題 49 2次方程式の解の存在範囲 ) 本についての2次方程式(x+a+6=0が次のような解をもつよう (1) 2つの解がともに2以上である。 の (2) の解は2より大きく、他の解は2より小さい。 p.76 基本事項 基本48 CHART & SOLUTION 実数解 α β と実数kの大小 a-k, β-kの符号から考える (1) 2以上とは2を含むから、 等号が入ることに注意する。 a≥2, B≥2 (a-2)+(8-2)≥0, (a-2)(B-2)≥0] (2)<2<BまたはB<2<α (α-2) (B-2)<0 解答 x²-(a-1)x+a+6=0 の2つの解をα, β とし, 判別式を Dとすると D={-(a-1)}-4(a+6)=α-6a-23 解と係数の関係により a+β=a-1, aβ=a+6 (1) α≧2,β≧2 であるための条件は,次の① ② ③ が同 時に成り立つことである。 D≥O (a-2)+(B-2)≥0 ......② E Linf. 2次関数 f(x)=x²-(a-1)x+a+ このグラフを利用すると (1) D≧0, (軸の位置) ≧2, ƒ(2)≥0 x: a-1 2 (a-2)(B-2)≥0 ③ ①から a²-6a-23≥0 ゆえに ②から a≤3-4√2, 3+4√2 ≤a... α+β-4≧0 a≧5 ...... ⑤ ...... ④ (a-1)-4≥0 f(2) よって ③から αβ-2 (α+B)+4≧0 ゆえに a+6-2(a-1)+4≧0 ④ ⑤ ⑥ の共通範囲を求めて よって a≦12... ⑥ 2 a (2)f(2) <0 B (p.76.5 補足 参照) 6 3+4√2 Ma≦12

(5)の問題で何故青い線からx=1とわかるのでしょうか？

32 2次関数の決定 精 次の条件をみたす2次関数のグラフの方程式を求めよ. (1) 頂点が (2,1) で, 点 (3, -1)を通る. (2) 軸と2点 1, 0, 3, 交わり, y切片が3. (3) - 2, 1, 6), (27) を通る. 3点(-1, (4)3点 (-1, 1, 2, 25) を通る. (5) 軸に接し, 2点 (0, 2), (2,2)を通る. 2次関数を決定する (係数を決める) とき, 大切なことは、 最初の設 定です.それは,次の3つの形のどれでスタートを切るかというこ とです. I. 頂点や軸がわかっているとき (a 0) y=a(x-p)+α Ⅱ. 切片がわかっているとき y=a(x-a)(x-β) (0) .Ⅰ.Ⅱ以外は、 y=ax+bx+c (a=0) 解 答 (1) 頂点が(2,1) だから, 求める2次関数は (3) 求める2次関数をv=ar'+bx+c とおく. 3点 (-1. 2). (16),(27) を通るので,これらを代入して [a-b+c=-2 ...... ① a+b+c=6 ② [4g+2b+c=7 ...... 3 ② ①より。 b=4. ①. ③に代入して, a+c=2 ......① 4a+c=-1 ... ③ ①', ③'より, a=-1,c=3 よって,y=-x+4x+3 (4)2点(-1,2) (1, 2) を通るので,軸はy軸. よって, y=ar'+c とおける. 2点 (1,2) (2,5) を通ることより a+c=2. 4a+c=5 ∴. a=c=1 よって, y=x+1 注 (3)と同じようにしてもかまいません。 (5) 軸に接するので,頂点のy座標= 0 また, 2点 (02) (22) を通るので, 2次関数のグラフは 軸に関して線対称 軸は =1 < (4) と同じ よって、 求める2次関数は,y=α (x-1)^ とおける. (0.2) を代入して、 a=2 よって, y=2(x-1)2

数Ⅰの二次関数の問題です。 x=-1,1で場合分けする理由を教えてください。 ［2］に含めてもよいと考えてしまいました。 よろしくお願いします。

重要 例題 130 2次方程式の解と数の大小 (3) 000 方程式x+ (2-a)x+4-2a=0が1<x<1の範囲に少なくとも1つの をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 基本 指針 条件が｢-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ」であることに 大きく分けて次のA, B の2つの場合がある。 A-1<x<1の範囲に, 2つの解をもつ (重解は2つと考える) ® -1 <x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ A [1] 方程式の2つの解をα, B(α≦β) として, それぞれの場合につ + a いて条件を満たすグラフをかくと図のようになる。 ®は以下の4つの場合がありうるので注意する。 ® [2] ® [3] -1<x の範囲に B [4] a + B x は -1<x<1 の範囲に1つ、 <-1 または 1<x の範囲に1つ + x & x-x-2=0 (x-21 (x + 1) = 0 α=-1 A B= + -1 a -1 B1x x=-1と-1<x<1 の範囲に1つ f(x)=x2+(2-α)x+4-2aとし, 2次方程式f(x)=0の 解答 判別式をDとする y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は直線 a-2 x= である。 2 [1] 2つの解がともに-1<x<1の範囲にあるための条 件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x<1の部分と異 なる2点で交わる, または接することである。 すなわち、次の (i)(iv) が同時に成り立つことである。 (1) D≥0 (Ⅱ) 軸が-1<x<1の範囲にある (iii) f(-1)>0 (iv) f(1)>0 (i) D-(2-a)2-4.1.(4-2a) =d+4a-12=(a+6)(a-2) D≧0から (a+6)(a-2)≥0 a≤-6, 2≤a ゆえに a-2 (ii) x= について 2 よって -2<a-2<2 ****** ① -1<a-2 <1 1 の範囲 2-a x=- 2-1 条件は 「少なくとも1 であるから, グラフがx軸 場合,すなわ この場合も含まれ [1] 軸 D=0 ゆえに 0<a<4 2 (i) f(-1)=-α+3であるから よって a<3 3. -a+3>0 +

二次方程式mx^2-x-2＝0のときに、両辺をmで割る理由がわかりません。mが0じゃないのはわかります。mで両辺を割ると、計算が複雑になると思ったのですが、利点は何か教えて欲しいです🙇

2次方程式 mx2-x-2=0.①が2実数解α, β をもち, れ次の条件をみたすとき,mの値の範囲を求めよ。 (1)α < 1 <β (2)-1<a≦ HECK それぞ ヒント! 2次方程式といってるからょの係数m は, 当然 m = 0 だね。 ただし、 mの正負はわからないので, ①の両辺をまず, mで割って,xの係数を1にす ると, 考え易くなるんだね。 解答&解説 2次方程式 mx2-x-2=0 ① (m≠0) ここで,m≠0より, ①の両辺をmで割って, ココがポイント ←2次方程式といっているか ら当然≠0だ。 a b 1.x 1 2 X = 0 ・② ②を分解して、 m m a y=f(x)=1.x2 [y=0 [x軸] 1 2 X m m とおく。 の係数を1としたこと y=f(x)は,下に凸の放 だね。

なぜ4点ABCDから出来る平行四辺形はこの3つだけなんですか？？円順列的に考えて3つの並び替えで3!で6通り存在しないのは何故ですか？？

Think 例題 C2.9 複素数平面での平行四辺形の頂点 形式 (365) C2-1 **** 複素数平面上に4点A(1-2), B(z), C(iz), D(z) を定める. 四角形 ABCD が平行四辺形であるとき, 複素数 zを求めよ. 考え方 四角形ABCD が平行四辺形であることをベクトルで表すと, AB=DC であるから 複素数平面でA(α), B(β), C(y), D() のとき, β-α=y-δ である. 四角形ABCD が平行四辺形より, AB = DC, AB/DC 解答 である. よって、 z-(1-2i)=iz-ス つまり、 z=(i-1)z+(1-2i) ①の両辺の共役複素数をとると, _z= (-i-1)z+(1+2i) ここに①を代入すると, ① www D(z) C(iz) O B(z) (8O+AO)SAA(1-2i) z=(-i−1){(i−1)z+(1−2i)}+(1+2i) したがって, 0% z=2z-2+3i z=2-3i 0 th 1=2+b)+(nds) ① OAO)+(内 (別解)四角形ABCD が平行四辺形のとき,対角線 AC と BD の中点は一致するから、 A (1-2)+iz 2 た z+z32. OA 2点α, βを結ぶ線分 (S)(1) A01:1 したがって, ad よって, (1-iz+z=1-2i の中点は, a+β (1-2i)+iz=z+z 2 (p.C2-52 参照) ①の両辺の共役複素数をとると, (1+i)z+z=1+2i.......② ① ×(1+i) ② より を消去すると, z=2-3i Focus 四角形ABCD が平行四辺形A0 .00 x+Q+D AB=DC または AD=BĆ あるいは、対角線の中点が一致 z= a + bi (a,b は実数) とおくと, z=a-bi これらを,z-(1-2i)=iz-zに代入して解くこともできる。三 "はABC AD 習 例題 C2.9 の4点 A, B, C, D が平行四辺形の頂点となるような複素数zのうち, 2.9 例題 C2.9で求めた z=2-31 以外の z をすべて求めよ.