発展
例題4文字係数の2次関数の最小値
a は定数とする。関数 y=2x+4ax (-1≦x≦1) の最小値を、次の場合について,それぞれ求めよ。
(1) a<-1
(2)-1≦a≦1
(3)a>1
考え方
定義域における2次関数のグラフをかいて、 最小となる部分を読みとる。
解答 y=2x2+4ax を変形すると
y=2(x+α)2-2a2
軸x=-a (2) 軸x=-α (3)軸x=-a
関数 y=2x2+4ax のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-αである。
(1) a<-1 のとき, 1 <-αであるから,グ (1)
ラフは右の図の実線部分である。
よって,yは x=1で最小値4a+2をとる。
106 (2)-1≦a≦1 のとき,-1≦a≦1である
から, グラフは右の図の実線部分である。
よって, yはx=-α で最小値-22 をと -1≤x≤1
る。
-1≤x≤1
(3)a>1 のとき, -a<-1であるから,グラフは右上の図の実線部分である。
よって, yはx=-1で最小値-4α+2をとる。
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