x=2y+1
去するか
ET
例 73
2変数関数の最大最小
を実数とするとき、x-4.xy+y²-4y+3 の最小値を求め、そのときの
の値を求めよ。
基本 59
SHART & SOLUTION
題のようなxとyの間の関係式(条件式という)がないから、この例題のxとyは互
に関係なくすべての実数値をとる変数である。 難しく考えず、まず、yを定数と考えて、
式をxの2次関数とみる。 そして
基本形 α(xp)+αに変形する。
2次式)も
そして、更に残った定数項(
基本形 b(y-r)+s に変形する。
ここで、 次の関係を利用する。
実数X, Yについて X 20 Y 20 であるから､
aX2+by+h (α> 0, b>0は定数) は
X=Y=0 で最小値 をとる｡
x2-4xy+7y²-4y+3
={(x-2y)-(2y)^}+7y²-4y+3
=(x-2y)2+3y²-4y+3
=(x-2y)+3y-)-(号)}+3
=(x-2y)² +3(x-3)² +
x, y は実数であるから
(x-2y)² ≥0, (y-2) 20
したがって, x-2y=0, y-
= 0 すなわち
x=1/13. y=1/23 で最小値をとる。
(実数) 20
yを定数と考え、xにつ
いて平方完成。
xを定数と考えて
平方完成すると次のように
なるが､ 結果は同じ。
7y³-4(x+1)y+x²+3
2x
=7{y_²(x+1)}²
4(x+1)^
- 4(x + 1)²+x²+3
7
-12 (7y-2(x+1))2
POINT 2変数x,yの関数の最小値 α(x,yの式)+b(yの式)+k
a,b,c,d,e, kを定数として
a(x+cy+d)²+b(y+e)²+k (a>0, b>0)
と変形できるなら, x+ey+d=0,y+e=0 で最小値kをとる。
PRACTICE 73°
x,yを実数とする。 6x2+6xy+3y²-6x-4y+3 の最小値とそのときのx,yの値を
[類 北星学園大 ]
求めよ。
00
2次関数の最大・最小と決定
