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重要 例題18 ベクトルの不等式の証明 (1)
000000
次の不等式を証明せよ。
(1) -la|lb|≤a·b≤|al|b1
-|à||b|≤à·b≤|à||ỗ|
(2) al-16|≤la+b|≤|å|+|b|_____
lãi lời tôi
NOA-OP 
p.399 基本事項 ①
指針 (1) 内積の定義α・b=|α||6|cos0 ( 0 は a, のなす角)において, -1≦cos 0≦1で
あることを利用。ベクトルの大きさ
| ≧0であることに注意する。
について
(2) まず, la +6≦|a|+|6|を示す。左辺,右辺とも0以上であるから,
A≧0, B≧0のとき A≦B⇔A'≦B
であることを利用し, la += (al+|6|) を示す。 (右辺) - (左辺)≧0 を示す過程で
は,(1) の結果も利用する。
次に, la |-||≦a +6 の証明については,先に示した不等式 |a +6|≦|a|+|| を利
1=1+ 151 271
用する。
解答
(1) [1] = 0 または = 0 のとき
1.1 = 0, |a||3| = 0 であるから
-|à||b|=a·b=là|||=0
[2] a ¥0 かつ=0のとき
gal
別解 (1) a=0のとき、明ら
かに成り立つ。 a =0のとき
a +6 ≧0 すなわち
22ta･1+1≧0 A
はすべての実数tについて成
り立つから, (A の左辺) = 0
の判別式をDとすると,
la>0 より D≦0
a b のなす角を0とすると
15²58-16101) + = 10 +
[a-6=|a||3|cose...... ①
0°180°より, -1≦cos0 ≦1であるから
D
³ = (à •6)² – Tâ³²|6³² 4³5
日は2つのベクトルの
lal||≦|a||5|coso≦|a|||
Họi là là là lời sản ở là lời
4
①からなす角
sasa
[1]. [2] 5-lä||b|≤ä·b≤|à||b|
(2)(|||5|²|+部 絶対値!!
20 841
検討
13 =
|a|+2|¢||6|+|_(|a+2a・1+1)
=(a-ab)≧0式①のなんで勝手に
ゆえに
lã+6²≤(lä+|b|)²
おき換えていいの?
la +5|</a|+|6|は三角形
における性質 「2辺の長さの
和は,他の1辺の長さより大
きい」 (数学A) をベクトル
で表現したものである。
lái thời 20, là tôi 2005
|ã+b|≤|a|+|b|
B
② において, da +6, を一方におき換えると
a+b
|à + b−b |≤|ã+b| + | −611
A
£57 Tä|≤|ã+6|+|b|m0₂ ~ •
a
ゆえに
8216-28
^ [a+b|< |a|+|b|
10-16|1+8...... ③
OB<OA+AB
②③ から
|ā| − | 6 |≤|ã+b|≤|ã+16 <0
Ta + bl も同じように証明しよ
1章
3 ベクトルの内積
