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第6章 微分法と積分法
基礎問
153
●時は
「時はケ
96 接線の本数
曲線 C:y=x-m 上の点をT(t, ピーt) とする.
(1) 点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2)点A(a, b) を通る接線が2本あるとき, a,bのみたす関係式
を求めよ。 ただし,a>0,b=α-a とする.
(3)(2)のとき,2本の接線が直交するようなa, bの値を求めよ.
精講
(2)3次関数のグラフに引ける接線の本数は、接点の個数と一致
ます。だから, (1)の接線に A(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが、このときの
考え方は 95 注 で学習済みです。
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
1つは(2)で求めてあるので,あと1つですが,それが「接線が直交する」
を式にしたものです。 接線の傾きは接点における微分係数(84) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります。
解答
(1) f(x)=-x とおくと, f'(x)=3-1
よって, Tにおける接線は,小)×
y-(t-t)=(3t2-1)(x-t)
y=(3t2-1)x-2t3
86
(a=0
lg(0)g(a)=0
a=0
(a+b) (b-a+α)=0
ba³-a, a>0 745, a+b=0
(3)(2)のとき(*)より, t2(2t-3a)=0
Sack
参考
<α0 は極値をもつ
ための条件
2本の接線の傾きはf'(0) (22) だから、直交する条件より
3a
(0) ƒ (32)=-1. (-1)(a²-1)=-1
8
a²=
27
という
a>0より,a=
2√6
_26
b=-
9
9
ポイント
3次関数のグラフに引ける接線の本数は
であ
接点の個数と一致する
不
実は,3次関数のグラフに引ける接線の本数は以下のようになるこ
とがわかっています. 記述式問題の検算用やマーク式問題で有効で
す。
3次曲線Cの変曲点 (89)における接線をひと
するとき,
斜線部分と変曲点からは1本引ける
・Cと上の点(変曲点を除く) からは2本引ける
・青アミ部分からは3本引ける
K
(2) (1)の接線は A (a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
2t3-3at2+a+b=0 ...... ( * )
y=x-x
(*) が異なる2つの実数解をもつので
第6章
(極大値)×(極小値) = 0 であればよい.
g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
T
演習問題 96
195注
A(a,b){
(t,t³-t)
曲線 y=x6xに点A(2, p) から接線を引くとき 次の問いに
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
答えよ.
(1) 曲線上の点T (t, -6t) における接線の方程式を求めよ.
(2)
で表せ
(3)点Aから接線が3本引けるようなかの値の範囲を求めよ.
