蛍光ペンで引いている部分が分かりません。 OAベクトルとOPベクトルの内積が6−Sと表せるのはなぜですか。

★234 平面上において, 原点Oと2点A(1, 1), B(2, 1) に対して, ベクトル OP=sOA+tOB を考える。 定数sとtが条件 0≦s, 0≦t, s+t=2 を満たしながら変わるとき, 点Pの描く図 形を図示せよ。また,内積 OA･OP の最大値と最小値を求めよ。 [13 信州大 ・ 改]

Gはどこから出てきたのですか。なぜGを求める必要があるのですか。

1402 重要 例題 44 ベクトルと軌跡 件 AP･BP +BP･CP+CP･AP=0 を満たすとき,Pはどのような図形上の 平面上の△ABC は BA・CA = 0 を満たしている。この平面上の点Pが 岡山理科大 点であるか。 CHARTO SOLUTION 解答 BA･CA=0 から, △ABCは∠A=90°の直角三角形である。 AB=1, AC =c, AP= とすると、条件の等式から þ· (b − b ) + (p − b ) · (p −c)+ (p—c) • p=0 6•c=0 +1=0 △ABC の問題 Aを始点とする位置ベクトルで表す ......① 条件式の中の各ベクトルを, Aを始点として, ベクトルの差に分割して整理する ベクトル方程式に帰着できないかと考える。 BA･CA = 0 から よって 整理すると ゆえに よって ゆえに ・万+1 3|p²²-2(b + c) • p=0 | B³² - 3²3² (b + c) • p = 0 |ñľ— ²3 (6 +č)·ñ+( ²3 16+č 1)² = ( ² 1 6 + ĉ¹1) ² - |p-} - (b+c)|=| ³+ |³²| 3 辺BCの中点をM, AM = m とすると + c = 2mを①に代入すると ① m= b+c 16/01/23 よって |||| 2→ AG=12/27m とすると,Gは線分 AM を 2:1に内分する点で ある｡ したがって,点Pは△ABCの重心Gを中心とし、半径が AG の円周上の点である。 BALCA Aを始点とする位置べ クトルで表す。 ・AB・AC=0 ◆2次式の平方完成と同 様に変形する。 ◆Mも定点である。 inf. Gは△ABC の重心 0 である。 SETS P B + ¥ M 'G PRACTICE・・･・ 44 平面上に, 異なる2 定点 0, A と,線分 OA を直径とする円C 考える。また,円C上に点Bをとり, OA=4,OB=1 とする。 (1) この平面上で, OP・AP + AP・BP +BP･OP = 0 を満たす点Pの全体よりな の中心をD,半径をrとする。 OD およびr を用いて (2) (1) において Rim

蛍光ペンの部分が分かりません。tの範囲で変化させると点Pは線分A'C'上を動くのですか。また、Sの範囲を変化させると点Pは線分ACからDEまで平行に動くのはなぜですか。

38 平面上の点の存在範囲 (2) 基本例題 「△OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 (2) op=sOA+ OP=sOA+tOB, +tOB, 0≤s+t≤, s≥0, t≥0 1≦s≦2, 0≦t≦1 CHART OLUTION OP=sOA+tOBである点Pの存在範囲 0≦stt≦k を変形して≦1を導く まずsを固定して, tを動かす p.389,390 基本事項 ②. 基本 37 (1) 条件より, 0≦3s+3t≦1であるから, OP=3s (1/30A)+3t (1/3 OB) とし, OP=s'OA'+t'OB', 0≤s'+t'≤l, s'≥0, t'≥0 OÆK‡3. (2) sとtは互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定してt を動かすとよい。 0≦3s +3t≦1 (1) 0≤s+t≤ ³5 3 また ここで, 3s=s', 3t=t とおくと =S OP=sOA+fOB=3s(Ox)+321/OB) パラ 3t OP=s(OA)+1(OB), oss'+t'≤1, s'20, 1'20 +t' よって 1/2OA=DA 1/2OBOB' となる点A', B'をとる = 重要 43 P the figh tOB SOA A A D OP=OOA' + OB 0≤0+A≤1, O≥0, U A≥0 この形を意識して変形する。 0 A" p 4- 395 'B' 1章 A B ◆sとtは無関係に動く。 そこで まずsを固定し tを動かし, Pの動く 範囲 (線分 A'C') を考え る。 次に, sを動かすと どうなるかを考える。 と、点Pの存在範囲は △OA'B' の周および内部である。 (2) sを固定して, OA' =SOA とす B C C'E ると OP=OA'+tOB ここで,tを 0≦t≦1の範囲で変化 させると, 点Pは右の図の線分A'C' 0 上を動く。 ただし,OC=OA'+OB である。 次に,sを 1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は図の線分 AC から DE まで 平行に動く。ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB である。 5 ベクトル方程式 よって, OA+OBOC, 20A OD, 20A+OB = OF となる点C,D,Eをとると､ 点Pの存在範囲は平行四辺形ADEC の周および内部である。 PRACTICE・・・ 38 ③ △OAB において、 次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 (1) OP=SOA+tOB, 0≤s+t≤4, s≥0, t≥0 (2) OP=SOA+tOB, 2≤s≤3, 0≤t≤2

(3)について、なぜzは任意の値を取るのでしょうか。

直線の方程式 演習 例題 77 (1) 次の直線のベクトル方程式を求めよ。 (ア) (イ) 2 (1,2,3)を通り, =(2,3,4) に平行。 A 1), B(-1, 3, 1)を通る。 2点A(2,-1, (1,2,3)を通り, ベクトル=(3,-1, 2) に平行な直線の方程式を 求めよ｡ (3) 点A(-3,5, 2) を通り, d = 0, 0, 1) に平行な直線の方程式を求めよ。 指針 直線のベクトル方程式 [1] p=a+td P.459 基本事項 3. [4] 点Aを通りに平行 2点A,Bを通る [2] p=(1-t)a+t6 [2] は [1] において d = AB の場合ととらえることができる。 よって、直線の (ベクトル) 方程式は通る1点と方向ベクトルから求められる。 (2) 点A(x1,y1,z1) を通り, ベクトル i = (l,m,n) に平行な直線の方程式は x-xy_y-y_2-2 ただし, lmn=0 m 1 n CHART 直線の方程式 通る1点と方向ベクトルで決定 解答 Oを原点, P(x, y, z) を直線上の点とする。 (1) OP=OA + であるから (x,y,z)=(1,2,3)+(2.3 - 4 ) (t は実数) (イ)AB=(-3,40) であるから, OP=OA+tAB より (x,y,z)=(2,-1,1)+t(-3,40) (t は実数) (2) 求める直線の方程式は==-2+3 28-06-1 (3) OP=OA + であるから (x, y, z)=(-3, 5, 2)+t(0, 0, 1) (***) よって, x=-3, y=5, z=2+tから x=-3, y=5 463 =(1-2,3+1. 1-1) 43-(-1)-2 0 (3) 0.0.1=0 であるから, (2) のように求めることはでき zは任意の値をとるから, z= この部分は不要。 空間における直線の方程式の表し方は,1通りではない 例えば、上の例題 (1) (イ) で, 通る1点をB, 方向ベクトルをBA=(3,4,0)とすると. OP=OB+tBA から (x,y,z)=(-1,3,1)+(3,4,0)となり上の解答 (1) (イ) と異なる。 21 1

数Bベクトルです！ この問題の解答の3行目でなぜ勝手にcosθを入れてるんですか？両辺にcosθをかけるからわかるんですが、勝手にcosθを左辺だけかけてもいいんですか？ 教えてください！

85 86 平面上の異なる2つの定点O,A と任意の点Pに対し, OA=a, OP= する。次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。 (2) 2à·p=|a||p| (1) (+2a|=|-2| 平面上の△ABC に対 ような図形を描くか。 <発展問題

数Bベクトルです！ これの（２）のGCベクトルを求める問題で、私は模範解答とは違うやり方をして、答えが違いました。 どこが間違っていますか？？ 教えてください！

78 △ABC の重心を G, 辺BCの中点をMとし, GA = a, GB = 6 とする。 (1) AM, GC を GČを (2)点Mを通り,辺CAに平行な直線上の点をPとし, GP = p とする。 を用いて表せ。 BA この直線のベクトル方程式を,i,d, i を用いて求めよ。

これは③のやり方でやってあるのですが、私は④でやろうとしました。④のやり方でも出来ますか？ また④でやって答えが合わなかったので、④のやり方ができる場合やり方を教えてほしいです！

00000 基本例題 63 2直線の交点の位置ベクトル 四面体OABCの辺OA の中点をP、辺BC を 2:1に内分する点をQ、辺OCを 1:3に内分する点をR, 辺AB を 1:6に内分する点をSとする。 OA=d, OB,OC=とすると (1) PQ を, 方 で表せ。 (2) RS を ,こで表せ。 (3) 直線 PQ と直線RSは交わり, その交点をTとするとき, Of を a,b,cで 表せ。 [類 岩手大 ] 指針▷ (1),(2) PQ=OQ-OP, RS=OS-OR (差による 分割) (3) 平面の場合 (p.418 基本例題24) と同様に, 解答 交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較 に沿って考える。 点T は直線PQ, RS 上にあるから PT = uPQ (u は実数), RT = RS(v は実数)として, OT をa, L,で2通りに表し, 係数を比較する。 (1) PQ=OQ-OP=1・6+2c (2) RS=OS-OR= (3) 直線PQ と直線RS の交点をTとする。 T は直線PQ上にあるから PT=uPQ (u は実数) 2 よって, (1) から 2+1 6a+1.6 1+6 6 OT=OP+uPQ=¹⁄(1−u)ã+⁄ub+ 2 2 → - 1/² à = -1/2 a + ²1² 6+² / č 1→ a+ b 2 3 3 3=35.9₂ 6 → 1 c = a + 1/ 6-1 c - 08/ 4 ¹80×40=3 OT-OR+vRS= va+vb + + + + (1 - 0) 2) 第1式と第2式から これは第3式を満たす。 よって, ① から 2 ² uč .uc.... ① 3 T は直線 RS 上にあるから RT=vRŚ (v t£#) >← |-[-)=BA ゆえに,(2) から [-E ₁1+EE+S)=JA IOHA ODA, HA SLA-87 4点 0, A,B,Cは同じ平面上にないから, ①, ② より 6 1 1/(1-u) = { v, \/\u= 7/7v, Zu-7 (1–0) u= 3 4 u= 7 5 =1/3.0=1/3 15 AZ is 2 17A+ÃO-HC P OT = ²a + 1/ 6+ /²/ c T $11 UN DAN HA B 基本24 の断りは重要。 > (1-0) 練習 四面体OABC において, 辺ABを1:3に内分する点をL, 辺OCを3:1に内分 ② 63 する点を M,線分 CL を 3:2に内分する点をN,線分 LM, ON の交点をPと OA=4,OB=1,OC=とするとき, OP を a, , で表せ。 4歳

[点Bを通り、直線ACに平行な直線を表すとき] 2枚目の画像のようにしたのですが、答えが合いません。 直線ACに平行な直線の表し方が間違っているようですが、なぜこれではダメなのか教えてください。

748. 右の図の平行四辺形OABCにおいて, OA=d, OC=c とする。 このとき,次の直線または線分のベクトル方程式を求めよ。 _* (1) 直線AB LAJANS (8- ,▷) .([ C C a A 749 (

数Bのベクトル方程式の範囲です！ 黄色い線が引いてあるところで、なぜ急にdベクトルが出てくるのかが分かりません💦 教えてください🙇‍♀️

(3) 2点A(1, 4), B(3, 168 直線l: (x,y)=(0, -3)+s(1,4) について, 点P(10, 3) から lに垂線PQを下ろす。 このとき, 点Qの座標を求めよ。 CADに対して、点Pが次の条件を満たしながら動くとき, 4

答えが合いません💦 どこが間違っているのか教えてください🙇🏼‍♀️

437 基本例題36 交点の位置ベクトル (2) | 平行四辺形ABCD において, 辺ABの中点をM, 辺BC を 1:2に内分する点を E, 辺 CD を3:1に内分する点をFとする。 AB=1, AD=d とするとき (1) 線分 CM と FE の交点をPとするとき,APをも, で表せ。 (2) 直線 AP と対角線BD の交点を Q とするとき,AQを言 で表せ。 基本 24, p.433 基本事項 ② 針▷ (1) CP:PM=s:(1-s), EP:PF=t: (1-t) として, p.418 基本例題 24 (1) と同じ要領 で進める。 交点の位置ベクトル 2通りに表し係数比較 #AJAX (2) 点Qは直線AP上にあるから. AQ=kAP (k は実数) とおける。 点 Q が直線BD上にあるための条件は MP3 AQ=sAB+tAD と表したとき s+t=1 (係数の和が1) 2 30m+10K-40ả st 解答 (1) CP:PM=s:(1-s), EP:PF=t: (1-t) とすると QARSUS LIA (1 AP=(1-s)AC+sAM=(1-s) (+d)+1/26 S - (1 - -/-) 6+ (1-s)d 2 AP=(1-t)AE+tAF=(1-t)+1/2²) +1(+1/26) 1+2t -(1-3-1) 8+¹ +2²2 3 60, 0, xd であるから 1+2t S 3 1- 1-2-1-³/t, 1-s=- 4 =1- 31+HO+40g 7 よって s= 4 13, t = 1/2 13 ゆえに ŽK_AP=106+1⁄à 13 (2) 点Qは直線AP上にあるから, AQ=kAP ( は実数) と As+AD=90 ⑤ HAA AO-90M M 8014 A001B1E 101+A0(1-1)=0-> 40s-40 god & D の係数を比較。 +709-11-999205 1 70 11 5 ベクトル方程式