なんで両辺にxyz(x＋y＋z)をかけるんですか？？ 教えて頂きたいです！

重要 例題 34 「少なくとも1つは･･･」の証明 1 1 1 1 + + x y 2 x+y+z 1つは0であることを証明せよ。 CHART O OLUTION よって 証明の問題 結論からお迎えに行く まず結論を示すには,どんな式が成り立てばよいかを考える。 x+y,y+z, z+xのうち少なくとも1つは0である。) ⇔ x+y=0 または y+z=0 または z+x=0 ⇔ (x+y)(y+z) (z+x)=0 よって, * を証明すればよい。 1 1 + XC y 2 1 + 1 x+y+z 00000 であるとき, x+y,y+z, z+xのうち少なくとも [香川大〕 の両辺に xyz(x+y+z) を掛けると (4+5)-(1+0 (x+y+z) (yz+zx+xy)=xyz {x+(y+z)}{(y+z)x+yz}-xyz=0 (y+z)x2+(y+z)2x+yz(y+z)=0 (y+z){x2+(y+z)x+yz}=0 (y+z)(x+y)(x+z)=0 ゆえに y+z=0_または x+y=0 または x+z=0 したがって, x+y,y+z, z+xのうち少なくとも1つは0で ある｡ ⇔(x-y)(y-z)(z-x)=0031-6 ② x,y,zの少なくとも1つは1に等しい MOITUTO INFORMATION 上の例題のように、結論から解決の方針を立てる考え方は大切で、証明の問題に限ら ず, 有効な方法である。 以下には、代表的なものを紹介しておく。 +1- ① x,y,zの少なくとも2つは等しい) (-- ⇔ (x-1)(y-1)(z-1)=0 ③実数x,y,zのすべてが1に等しい ⇔ (x-1)2+(y-1)+(z-1)^=0 PRACTICE・・・ 34 ④ a+b+c=1, - F 基本 24 xについての式と見て 計算する｡ 53 1 1 1 + + a b -=1 であるとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1である C inson al 1章 等式・不等式の証明 91 [Z)] NIGE Call 4

答え方はこれであっていますか？ 指摘があれば教えて頂きたいです🙇‍♀️

46. 次の不等式を証明せよ。 (10点×2) (1) x2+x+1≧3x X²² - 2x + 130 (x-1)+30 (2) a² +1062 ≥6ab a²-6ab+106²20 10-3631630 (a-3b)≧0,b≧0

(2)について、なぜここでは1/2で括ってるのですか？

Check! 例題 31 不等式の 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなと きか. (1) a²+b²≥ab ① (2) a²+6²+c²≥ab+bc+ca 考え方 不等式の証明の基本は, 差をとることである. (p.54 参照) 2次式の場合、平方完成して, RIOR 解答 (1) (左辺) (右辺)=a+b2-a cus, 6\2 = (a − b )² + 2 -{a²-ab+(2)²-( 2 )²} + b² = (a - b) ² - 1 - 6 ² + = 3 の形にする.(20本 - 62 4 6² +6²a²-2a. 2 b (a- ²≥0, 36²²0 x0, (a−b )² + 3² / 6² 21/0²/20 2 2 ①……①+ よって、 不等式 a2+62 ≧ab が成り立つ、歩 等号は、①より,a b 21/12 = 0 = 0 かつ b=0 FOKO b+d<3+o d+p²+q²=0 つまり, a=b=0 のとき成り立つ. (2) (EL)–(EL)=a²+ b²+c²-(ab+bc+ca) << (S) {2a²+26² +2c²-2(ab+bc+ca)} =1/12 -{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2} LEO (a-b)2≧0, (b-c)2≧0,c-a)^≧0より, =(-12) ² 4 + (9 b a-12 は実数で、 (実数)2≧0 2 =1/12 (²-2ab+6²)+(6²-2bc+c2)+(c2-2ca+α²)}do O b<.06 0<d {(a−b)²+(b-c)²+(c-a)²³} ≥0< 2 よって、不等式 a²+b2+c°≧ab+bc+ca が成り立つ. 等号は①より, a-6=0かつb-c=0 かつc-a=0 つまり、a=b=cのとき成り立つ. 01 ⇔p=g=0 od ここがポイントである。 h\2 (19.0 a-b, b-c, c-alt 実数で (実数) ≧0 p²+q²+r²=0 ⇔p=g=r=0 する。)

不等式の証明では最終的に何を示すことが出来れば証明完了なのですか？

数Ⅱの不等式の証明です。線をひいているところがなぜそうなるのかがわかりません。解説をお願いします！

(2) 2√a +3√6≧√4a+96 122 不等式 |α+1|+|a-1|≧|24| を証明せよ。 また, 等号が成り立 のはどのようなときか。 (1)* 3+a≥ √9+6a

数学数列　 画像の四角で囲ったところのように変形するのはありですか？無しであればその理由を教えてください。

「つ」 306 308 数学的帰納法 〔3〕 ... 不等式の証明(2) 4以上の整数とするとき, 数学的帰納法を用いて次の不等式を証明せよ。 2" <n! 自然数nについての等式、不等式の証明は数学的帰納法を考える。 味の言い換え [1] n=4のときに ① が成り立つことを示す。 ( ① の左辺) (①の右辺) [2] 「n=kのときに ① が成り立つと仮定すると, n=k+1 のときにも ① が成り立つ」 ことを示す。 n=kのときの不等式 2 < h! が成り立つと仮定。 ⇒n=k+1のとき n=4 をそれぞれに代入して (左辺) (右辺) を示す。 (k+1)! -2k+1 = (k+1)k!-2k+1 > (k+1)-2+1 = ... > 0 仮定の利用 <<Action 数学的帰納法では,n=k+1 のときの式の複雑な部分に仮定の式を用いよ [1] n=4のとき (左辺) = 24 = 16, (右辺)=4!= 24 左辺) (右辺)であり, ① はn=4のとき成り立つ。 [2] n=k(k≧4) のとき, ① が成り立つと仮定すると 2<k! n=k+1 のとき (右辺) (左辺) (k+1)! - 2k+1 = = (k+ 1)k! - 2k+1 > (k+1)22k +1 =2^{(k+1)-2} k≧4であるから nは4以上の整数である。 =2(k-1) 2^(k-1)>0 2k+1 < (k+1)! よって ゆえに, ① は n =k+1 のときも成り立つ。 [1],[2] より,4以上のすべての整数nに対して成 り立つ。 4以上の整数について命 題が成り立つことを証明 する場合は,まず [1] と してn=4のとき成り 立つことを示す。 特訓 2 例題 306 (右辺) (左辺) > 0 を示 す。 仮定した不等式を用いる ためにk! をつくる｡ (k+₁) £! - (2² > (E11) 21-1-2 (7-1) £! 308nが4以上の整数とするとき, 次の不等式を証明せよ。 3n > n³ ... 1 6章 化式と数学的帰納法 条件 k≧4 を忘れないよ うにする｡ 18 (宇都宮大) p.519 問題308 509

青チャート⑵7行目 aベクトルとaベクトル+bベクトル、 bベクトルと-bベクトルは別物なのに、 どうして置き換えても問題ないのですか？

409 6/15 重要 例題18 ベクトルの不等式の証明 (1) 000000 次の不等式を証明せよ。 (1) -la|lb|≤a·b≤|al|b1 -|à||b|≤à·b≤|à||ỗ| (2) al-16|≤la+b|≤|å|+|b|_____ lãi lời tôi NOA-OP &#07 p.399 基本事項 ① 指針 (1) 内積の定義α・b=|α||6|cos0 ( 0 は a, のなす角)において, -1≦cos 0≦1で あることを利用。ベクトルの大きさ | ≧0であることに注意する。 について (2) まず, la +6≦|a|+|6|を示す。左辺,右辺とも0以上であるから, A≧0, B≧0のとき A≦B⇔A'≦B であることを利用し, la += (al+|6|) を示す。 (右辺) - (左辺)≧0 を示す過程で は,(1) の結果も利用する。 次に, la |-||≦a +6 の証明については,先に示した不等式 |a +6|≦|a|+|| を利 1=1+ 151 271 用する。 解答 (1) [1] = 0 または = 0 のとき 1.1 = 0, |a||3| = 0 であるから -|à||b|=a·b=là|||=0 [2] a ¥0 かつ=0のとき gal 別解 (1) a=0のとき、明ら かに成り立つ。 a =0のとき a +6 ≧0 すなわち 22ta･1+1≧0 A はすべての実数tについて成 り立つから, (A の左辺) = 0 の判別式をDとすると, la>0 より D≦0 a b のなす角を0とすると 15²58-16101) + = 10 + [a-6=|a||3|cose...... ① 0°180°より, -1≦cos0 ≦1であるから D ³ = (à •6)² – Tâ³²|6³² 4³5 日は2つのベクトルの lal||≦|a||5|coso≦|a||| Họi là là là lời sản ở là lời 4 ①からなす角 sasa [1]. [2] 5-lä||b|≤ä·b≤|à||b| (2)(|||5|²|+部 絶対値!! 20 841 検討 13 = |a|+2|¢||6|+|_(|a+2a・1+1) =(a-ab)≧0式①のなんで勝手に ゆえに lã+6²≤(lä+|b|)² おき換えていいの? la +5|</a|+|6|は三角形 における性質 「2辺の長さの 和は,他の1辺の長さより大 きい」 (数学A) をベクトル で表現したものである。 lái thời 20, là tôi 2005 |ã+b|≤|a|+|b| B ② において, da +6, を一方におき換えると a+b |à + b−b |≤|ã+b| + | −611 A £57 Tä|≤|ã+6|+|b|m0₂ ~ • a ゆえに 8216-28 ^ [a+b|< |a|+|b| 10-16|1+8...... ③ OB<OA+AB ②③ から |ā| − | 6 |≤|ã+b|≤|ã+16 <0 Ta + bl も同じように証明しよ 1章 3 ベクトルの内積

不等式の証明で、fとgを微分する回数はどこに着目したら分かるのでしょうか？ よろしくお願いします

不等式の証明 [2008福島県医大 ] x3 x-- すべての20について 2012 sinxx- 6 x5 6 120 が成り立つことを示せ。 不等式の証明. 考え方 f(x)=sinx(x-1) g(x)=x-1+ x5 6 - sinx とおいて 120 微分して増減を調べ、f(x) ≧0,g(x)≧0を示す. * S(x) = sinx-(x-²) 23 (ー) とおく。 .2 f'(x) = cos x −1+², ƒ"(x) = −sin x+x, ƒ”” (x)= −cos x +1 x≧0のときf''(x) ≧0であるから, f'(x) は単調に増加する。 このことと,f"(0)=0 であることから x≧0のとき f'(x) ≧0 よってx≧0のとき f'(x) は単調に増加する。 このことと,f'(0)=0であることから x≧0のとき f'(x) ≧0 よって, x≧0のとき f(x) は単調に増加する。 このことと, f(0)=0 であることから x≧0のとき f(x) ≧0 すなわち x≧0のときx- ≤sin x x3 g(x) = x -- + sinx とおく。 6 120 2 x² x g'(x)=1-- + - COS X, 2 24 g'(x)=-x+ + sin x *≧0のとき, ① より g"(x) ≥0 よって、x≧0のときg'(x) は単調に増加する。 このことと,g'(0)=0であることから x≧0のときg'(x) ≧0 よって、20のとg(x) は単調に増加する。 このことと,g(0)=0 であることから x≧0のとき g(x)≧0 -70- 3 6 + ロ

2の、別解の解き方がわからないです！ 詳しく教えていただけますか？

X5/2 10 (2 基本例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 次の不等式を証明せよ。 00000 ①1 la+bl≦|a|+|b| lal-b|sla-bl1000 p.38 基本事項 4. 基本 28 S A:基本的に、ブソウにとけばよい。 ⓐ(1)は反対でやってれ? OLUTION 2人ならであるんだーって思うのでOKです。 似た問題 1 結果を使う 2② 方法をまねる (2) ag-bでおきかえよう とするアイデアはどこから (1) 絶対値を含むので、このままでは差をとりにくい。 [AP=A2 を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 よって,平方の差を作ればよい。...... [ (2) 不等式を変形すると |a|≦la-61+16 (1) と似た形 ← そこで,(1) の不等式を利用することを考える。の方針 Oath =(a+b² 解答 xlatbl = atb. (1) |a|+|62-la+b1=(|a|+2|a||3|+162)-(a+b)2 [inf. A≧0 のとき Nathatb=a²+2ab+b2-(a²+2ab+b2) |-|A|≦A=|4| =2(ab-ab) ≥0 ...... A<0 のとき x(1) -|A|=A<|A| しまって (a+b=(|a|+|6|)² であるから一般に |a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから -|A|SASA |a+6|≦|a|+|6| 更に,これから 30 $=x√&st 別解-|a|≦a≦|al, -16|≦b≦|6|であるから |A|-A≥0, |A|+A≥0 辺々を加えて __(|al+16)≦a+b≧la|+|6| of+s |a|+|6|≧0であるから la+b≦|a|+|6| ◆c≧0 のとき -c≤x≤c = |x|≤c (2) (1) の不等式の文字α を a-b におき換えて そのとき x≤-c, c≤x | (a-b)+6|≦la-6|+|6| $30 $=1, @[x]c |a|≦|a-6|+|6| よって ゆえに lal-lb|sla-bl 別解 [1] |a|-|6| < 0 すなわち |a| <|6| のとき (左辺)<0, (右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。 [2] |a|-|6|≧0 すなわち ! la-b²²-(al-|b)=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²) 号付録=2(−ab+lab)≧0 よって (al-b)²≤la-b1² |a|-|6|≧0, la-6|≧0であるから alal-lb|sla-bl=2007 CHART O 47 ものは存在するから 1章 (2) 2 2②の方針が負 の場合も考えられるの ≧のときで、平方の差を作るには 場合分けが必要。 inf 等号成立条件 (1) は ① から |ab|=ab, すなわち, ab≧0のとき。 よって, (2) は (a-b)≧0 ゆえに(a-b≧0かつb≧ または (a-b≦0かつb≧ すなわち a b≧0 また a≦b≧0のとき。 TOL 等式・不等式の証明

マジでわからんです。どうか教えてください！

5/2 X5/7 基 本 例題 32 式の大小比較 0000 0<a<b,a+b=2のとき,次の4つの式の大小を比較せよ。 +nd a² +6² a, b, ab, 2 基本 27 MOITU.IO TRAHO CHART O SOLUTION ALOR TOAS 式の大小比較 数値代入などで大小の見当をつける 4つの式の差を作って, a-b, a-ab, ･・・の符号を調べればよいが, 全部 ( 4C2=6通り) 調べるのは煩雑である。 そこで, 0<a<b, a+b=2 を満たす数 3 a=1212, b=212/2 を代入すると、ab=3a+b25 となる a² +6² 4' [2] 4 a² + b² ことから, a <ab<- -<bと見当がつく。この予想 2 ↑ ^ ^ ^ ^ [1] [2] [3] した不等式を2数ずつ差を作って大小比較する。 b=2-a 0<a<2-aれで解け 。 0<a< 1 ① ab=a(2-a)=-a²+2a またはx+z=0 q°+b²_a²+(2-a)2=-2a+2 とも 2 2 ab-a=(-a²+2a)-a=-a²+a =-a(a-1)>0<did of d a² +6² 2 -ab=(a²-2a+2)-(-a²+2a) SAROST =2a²-4a+2=2(a²-2a+1)+1)-( =2(a-1)2>0 a²+b²=(2-a)-(a²-2a+2) 2 解答) a+b=2 から 0<a<bから よって また [1] ① から [2] ① から DAN [3] ① から したがって b- a<ab< 2 a²+ b² (+ads-d.) =-a²+a=-a(a-1)>0 -<b 見当を つけて mu a+b=2は条件式。 条件式文字を減らす 消去する6の条件 をαに残す。 -a<0 ① から a-1 <0 -(²p+d5-³d)+(²60²5_a+1 よって (a-1)²>0 - -a<0 padd ① から a-1 <0 51 - 0=- c 0-0-0 1章 等式・不等式の証明