数IIの問題です。これはなぜ最後に足しているのですか？係数は2通りあるということではないのですか？

CHART & SOLUTION 7! 多項定理を利用して,(1+x+x2) の展開式の一般項を Ax” の形で表すと x² 9+2r p!g!r! となる。 2 TRAH 2 ① ここで,g,r は整数で≧0, g≧0r≧0p+g+r=7 xの項であるから g+2r=3 ..... (2) そこで,①,② から, b,g,rの値を求める。 D,g,rの文字3つに対して, 等式がp+gtr=7,g+2r=3の2つであるが, 0 以上の 整数という条件から,p,g,rの値が求められる。 解答 (1+x+x2) の展開式の一般項は 7! p!g!r! 1.x(x2)= 7! x+2r p!q!r! p, q, rp≥0, q≥0, r≥0, p+q+r=7 xの項は α+2r = 3 すなわち g=3-2r のときである。 g≧0 から 3-2r≧0 よって r=0, 1 ① g=3-2r, p=7-g-rから r=0 のとき g=3,p=4 r=1のとき g=1, p=5 すなわち ←1.x°(x2)=xx2r =x+2r (1) ←p>0,g>0, r>0 とカ ン違いしないように。 ←r= r=3-9, rは0以上 の整数から, q=1,3と してもよい。 01-11-81 (p, q, r)=(4, 3, 0), (5, 1, 1) I•S•E ゆえに、xの項の係数は x+2=x3 を満たすα, rは2組ある。 7! 7! 7.6.5 +7・6=35+42=77 4!3!0 5!1!1! 3.2.1 <0!=1 二項定理を用いて解く T 3次式の展開と因数分解,二項定理

数IIの二項定理の問題です。 解き方が分かりません。解説も難しくて 説明お願いします！

18 基本 例題 5 二項定理を利用する式の値 次の値を求めよ。 (2) Co-nCi+nCz (1) nCo+nCi+n2+....+nCr+......+nCn ........ (3) nCo-2C1+22nCz-.. .+(-2)'nCr+.... · +(−1)”nCr+······ +(−1)″nCn .......+(-2)"nCn p.12 基本事項 CHART & SOLUTION C に関する式の値 二項定理 (a+b)"="Coa"+"Ca"-16+nCza"-262+…+n Cra"-"'+…+nCnb" の等式に適当な値を代入 二項定理と似た問題ととらえて、 結果を使うことにする。 二項定理において, a=1, 6=x とおいた次の等式 (1+x)"=mCo+nCix+nCzx2+....+Crx+......+nCnx" をスタートにして、この式の右辺のxにどんな値を代入すると与えられた式になるかを考 える。 解答 二項定理により (1+x)"=nCo+1x+n2x2+････ +nCrx"+......+nCnxn s 数学A る。組 1 異 2 (1) 等式① に, x=1 を代入すると (1+1)"=zCo+zC1・1+nCz・12+•••... +nCr・1' +....+nCz・1" よって nCo+nCi+nC2+......+......+nCn=2" (2) 等式① に, x = -1 を代入すると ←①のn Crx"が"Cr とな ればよいから, x=1 を 代入する。 ←この等式については, p.193 を参照。 (1-1)"=nCo+mCr・(-1)+nC2・(−1)2+....+nCr(-1)*①の"x"(1)",C, +....+nCz(-1)” +…+(-1)",C=0 よって nCo-n Ci+nCz-+(-1)'n Cr (3) 等式① に, x=-2 を代入すると (1-2)"="Co+nC1(-2)+mC2(-2)2+....+nCr.(-2)^ よって +....+nCz・(-2)” nCo-2nC1+2rC2-……………+(-2)',C, +....+(-2)"C"=(-1)" となればよいから, x=-1 を代入する。 ①のnCrx が (-2)', C, となればよい から、x=-2 を代入す る。

なんで最後の式で（1+1）^nになっているのですか？

2 (1) Co+nC1+nC₂++nCn-1+nCn =nCo•1”.10+,Ci•1n-1.11+,Cz•1”-2.1+… +nCn−1·1¹·1”−1+Сn 10.1" =(1+1)" =2"

解答の上から7行目のところが分かりません、 なぜ5行目では、110+1だったのに、 7行目では11だけになるのですか？

発展問題 ✓ 16 11" を100で割ったときの余りを求めよ。

この問題の解答の5行目からが分かりません、 なぜ急に2が出てくるのですか？

15 二項定理を用いて,次のことを証明せよ。 ただし, nは3以上の整数とする。 >2 22分以内 (1)(1+1/2)^ (2)x>0 のとき (1+x)">1+nx+n(n-1) -x² 2

二項定理についてです、 なぜ二項定理を(a+b)r乗ではなく (1+x)n乗としているのですか？？ なぜ1が出てくるのか教えてほしいです

10 二項定理の等式を用いて,次の等式を導け。 (1) Co+2nC₁+2² C₂+ nC2 *(2) nCon C1 + n Cz 22 +2"nCn=3" = 2

二項定理の問題です。赤線より上のところまでは解けたのですが赤線以降の解説が理解できないので解説お願いします。

✓ 15 二項定理を用いて,次のことを証明せよ。 ただし, nは3以上の整数とする。 (1) (1+1/2)^2 n >2 (つ) レキ (1+r) m² >1 + nrt n(n-1) 2

なんで解答のような等式になるんですか？

( nは自然数とし, t>0 とする. 次の問に (1) 次の不等式を示せ (1+t)" ≧l+nt+ n(n-1)12 2 しする 次の極限値を求めよ. lim n

この問題ってmod使えたりしますか？ 二項定理で解くしかないんですかね？

° 68 (1) 2110 400で割ったときの余りを求めよ。 (2) 19+21”が400で割り切れるような正の整数nが存在するか。 存在するなら ば,その例を示せ。 存在しなければ,それを証明せよ。 [類 14 中央大〕

これってn=k+1の時にまる2の左辺を作って13mを代入する方法でできないのですか？

500 基本 例 56 整数の性質の証明 解答 0000 すべての自然数nについて, 42n+1 +37+2は13の倍数であることを証明せよ。 このような自然数nに関する命題では, 数学的帰納法が有効である。 n=kの仮定n=k+1の証明の過程においては, Nがの倍数⇔N=mm は整数) を利用して進めることがカギとなる。 すなわち 42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおいて -n=kの仮定 ← 42(+1) +1 +3(火+1) +2 が 13×(整数) の形に表されることを示す。 ← 基本55 n=k+1の証明 このように,数学的帰納法の問題では,n=k+1の場合に示すべきものをはっきりっ かんでおく・ ★ことが大切である。 「42+1+3+2は13の倍数である」 を①とする。 42-1+1+31+2=64+27=91=13・7 よって、 ①は成り立つ。 [1] n=1のとき ② これから [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおける n=k+1のときを考えると,② から 42k+1=13m-3+2 42(k+1)+1+3(k+1)+2=42.42k+1+3k+3 =16(13m-3k+2)+3k+3 =13.16m-(16-3).3k+2 =13(16m-3+2) 16m-3k+2 は整数であるから, 42 (k+1)+1 +3(k+1) +2は13 の倍数である。 S よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 (+ 指針」の方 仮定 ② が使えるよう 42 +1 の形を作り出すこ とがカギ。 の断りを忘れずに、 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。 別解 1. 二項定理を利用 42n+1+3n+2=4・42n+32・3"=4・16"+9.3"=4(13+3)"+9.?