数B 空間ベクトル 下の問題がわかりません。指針のところからわからないです。無知ですみません。 教えてください。よろしくお願いします。

重要 例題 77 球面のベクトル方程式 00000 空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点Qを考える。 更に, 原点を0,線分 OQ の中点をPとし, 点A, Q, P の位置ベクトルをそれ ぞれag, p とする。 このとき, 点Pが満たすベクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x,y,z)が描く 図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。 [類 立命館大] 基本 39. p.494 基本事項 [4] [1] [2] 指針 球面のベクトル方程式 [1] ||=r 中心C(c), 半径r [2] (-a) (-6)=0 2点A(a), B() が直径の両端 これは,平面で円を表すベクトル方程式と 同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で、 いずれかの形を導く。 解答 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから, l-al=3 を満たす。 また,線分 OQ の中点がPであるから,i=2127 すなわち i=2D である。 よって |2p-a|=3 ! ゆえに, 点Pが満たすベクトル方程式は よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径 22 の球面上にある。 ゆえに,点Pが描く図形の方程式はx+(y-3)+2=1/ S OQの中点 ( 2 3 u 2'2'2 よって s=2x, t=2y, u=2z これらを①に代入して (2x)²+(2y-6)²+(22)² =3² ゆえに x²+(y-3)¹+2¹= AZ ·P [参考] [点Pが描く図形の方程式を, 数学Ⅱの軌跡の考え方で求める (数学ⅡI例題108 参照)] 点Qの座標を (s, t, u) とする。 <s, t, u はつぎの文字。 点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s'+(t-6)'+u²=32 ...... 0 が点Pと一致するから 2=x, 1/2=y, 1/2 u =2 b B つなぎの文字 s, tu を消 去する。 練習 点Oを原点とする座標空間において, A(5, 4, 2) とする。 |③77 OP-20A･OP+36=0 を満たす点P(x,y, z) の集合はどのような図形を表す か。 また, その方程式をx, y, zを用いて表せ。 [類 静岡大]

数Bのベクトルです 321番の(2)(3)がわからないです 解説お願いしたいです。

321 平面上に定点A(a),B(6) があり,1-6-5,||=3.6-6を満た ているとき、次の問いに答えよ。 (1) 内積 を求めよ。 (2) 点P (7) に関するベクトル方程式 | -â+6|=|2a+6 で表される円の中 心の位置ベクトルと半径を求めよ。 (3) 点P (7) に関するベクトル方程式 (-a)(25)=0 で表される円の中 心の位置ベクトルと半径を求めよ。 [07 東北学院大)

数Bのベクトルです 321番の(2)(3)がわからないです 解説お願いしたいです。

321 平面上に定点A(a),B(6) があり,1-6-5,||=3.6-6を満た ているとき、次の問いに答えよ。 (1) 内積 を求めよ。 (2) 点P (7) に関するベクトル方程式 | -â+6|=|2a+6 で表される円の中 心の位置ベクトルと半径を求めよ。 (3) 点P (7) に関するベクトル方程式 (-a)(25)=0 で表される円の中 心の位置ベクトルと半径を求めよ。 [07 東北学院大)

丸している部分がなぜそうなるのか教えてください

内分する点 Sとする。 基本66 上」にもある (PQ, PRを で,「点S あるから =1, い。 3:1に を3点 き,線 稲田大] 四面体OABCにおいて, OA=AB, BC=OC, OALBC とするとき､次のこと 垂直, 線分の長さの平方に関する証明問題 を証明せよ。 00000 (1) OBLAC (浜松医大 ] 例題 68 直線(線分)の垂直 OA=4,OB=6, OC とする。 結論からお迎えすると OBLACOB AC=06⋅(c-a)=0 b·c=a·b 29 参照] のように、内積を利用してベクトル化することが有効である。 よって, OA=AB, BC=0Cから5c=a・b を導く。 ......... (2)等式の証明 ここでは (左辺) (右辺) = 0 を示す。 CHART 垂直・(線分) 内積を利用 ゆえに A, OB=1,OC=c とする。 (1) OA=AB 5 よって よって (2) OA²+BC" = OB²+ AC² →(内積)=0 [例題 30 参照], 線分の長さの平方→ABAB例題 =15-a |a|=|-20・6+\ap ゆえに ①②から 161²=2a-6 よって 同様に,BC=OC から |OA| = |AB|² = |BC|=|OC|子 161²=26.c って DB = 0, AC = 0 であるから したがって OB⊥AC (2) OABCから OA BC=0 OALBC à (c-6)=0 a∙b=b.c 3 ・(-a) = 0 すなわち OB･AC=0 SOBLAC a A ゆえに これと ③ より accであるから OA2+BC2(OB'+AC) 87-9-10 C b BEAT JUEGT DAX à•c=a•b CHA 基本29.30 (1) 別解 (p.486 補足事項 の例 参照) 0 =|0A|+|BC|-|OB-JAC にーーーー = lal²+|c²-26•c+|b1³² − | 6³² −|c³²+2à·c−laf=0 したがって OA2+BC2=OB2 + AC2 A----- 0A9=0A94 B (1) BC と AD も垂直であることを示せ。 (②2) 四面体 ABCD は正四面体であることを示せ。 485 M C 2章 9 (右) 位置ベクトル、ベクトルと図形 辺OBの中点をMとすると OA=AB から AM LOB OCBC から CM⊥OB よって OB⊥ (平面 ACM) AC は平面 ACM 上にあるか 5 OBLAC 一部 =1c1²-26-c+161²2 [ 四面体 ABCD を考える。 △ABCと△ABD は正三角形であり, AC と BD とは 968 垂直である。 [岩手大]

なぜOH=sa＋tbとしてるんですか？

p 基本 例題 25 垂心の位置ベクトル 平面上に△OAB があり、OA=5,OB=6, AB=7 とする。 また, △OABの垂 00000 心をHとする。 (1) COS ∠AOB を求めよ。 (2) OA= a, OB = とするとき, OH を a, 1 を用いて表せ。 指針 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, 解答 △OABの垂心Hに対して, OA⊥BH, OBIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで, OA⊥BH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。 (2) では OH = sa+t とし, OA・BH=0, OB･AH=0 の2つの条件から,s,tの値を求める。 (1) 余弦定理から EDU COS ∠AOB= OA⊥BH より OA･BH=0 である から よって ゆえに 25s+6(t-1)=0 すなわち 25s+6t=6 ① また, OB ⊥AHよりOB･AH = 0 であるから {(s-1)a+t}=0 (s-1)ã·6+t|b²=0 したがって (2) (1) 5 à·b=|ā||5|cos <AOB=5.6.-= -=6 △OAB は直角三角形でないから,垂心Hは2点A,Bと 一致することはない。 F 21-9 Hは垂心であるから OA⊥BH, OB⊥AH OH = sa + to (s,t は実数)とする。 A+8A CHORUSS 0 52 +62-72 2･5･6 S= a•{sa+(t-1)}=0 tsasaH slal²+(t-1)ã·b=0C=100 よって ゆえに 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 19 ① ② から 1)-(2*4 144 5 24' OH= 12 1 60 5 t= A 5 → 2ä+ 196 a+ 24 144 = p.400 基本事項 ⑤ 631 B ------ A stronas 重要 28 [参考] AB=18- =161²-26-a+la1² H |AB|=7, |a|=5, ||=6で あるから 72=62-2 ・a +5² よって 1=6 18-TA ①垂直→ (内積) = 0 BH = OH-OB O |a| =5, a-6=6 ①垂直→ (内積) = 0 ■AH=OH-OA A HA①-②から 24s=5 HA& 2a-6-6, 161=63 3x+u+= B 421 4 位置ベクトル、ベクトルと図形 X

ベクトルの｢点Pはどのような位置にあるか｣という問題は、位置ベクトルを考えて基準点をOにとるか、点Aにとるかで答えが変わりますか？

426 四面体 ABCD と点Pに対して,次の等式が成り立つとき, 点Pはそれぞ れどのような位置にあるか。 *(1) AP+4BP+3CP+8DP=0 (2) AP+2BP-7CP-3DP=0 ⑤ 空間の位置ベクトル 97

aベクトルのところが0ベクトルになる理由はなんですか？Gは重心です

58 点Aに関する位置ベク トルを考える。 6 +26 2+1 (1) AD = (2) AE= (3) AG= -b + 2→ C 3 -6+2c 2-1 Ô tô tả (4) BD=AD-AB= -b+2c - 15+ it +370 b + 2 3 B 2 C 16 - D - b A C 1 C 2 5A 1 15 E

⑴ですが、AB=b AC=c AP=pのようにおいて解くことはできないですか？？ 解説お願いします

例題 364 円のベクトル方程式(2) 201 平面上の△ABCと動点Pについて,次の等式が成り立つとき, 点Pは 23 どのような図形上を動くか. A (1) (AP+BP) (AP-2BP)=0 (2) AP BP=AC BCLY O 解答 (1) ABの中点Mを基点とし, 3点A, B, P の 位置ベクトルをそれぞれ a, -a, とすると, (AP+BP) ・ (AP-2BP) = 0 は, 考え方 基点をどこに定めると, 位置ベクトルの数が少なく, 図形の性質を見つけやすいか考え る.本問では,辺ABの中点を基点とすると考えやすい。 {(p-a)+(p+a)} {(p-a)-2(p+a)}=0 2p (-p-3a)=0 b. (+3a)=0 したがって, 1 ● 8²4/³+1 *** p.{p-(-3a)}=0 ここで,-3α は,線分 AB を 2:1 に外分する点D の位置ベクトルを表す. - よって, 点Pは, 線分ABの中点M , AB を 2:1 に外分する点Dを直径の両端とする円の周上を動く. (mil A(a) B(-a) M P①) 30% D (-3a) A(n),B() を直径 の両端とする円のベ クトル方程式は, (pa)•(p-6)=0

大学数学です。 位置ベクトルを使うみたいなのですが、解法がわかりません。できる限り詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

2 次のメモを持ってあなたは宝島を目指した: 島の中央に桃、栗, 柿の木が立っている野原がある. ・桃の木から栗の木に向かって歩数を数えて歩く. 栗の木に着いたら右へ90° 向きを変 えてさらに同じ歩数を歩き, そこに杭を立てる. 桃の木から柿の木に向かって歩数を数えて歩く. 柿の木に着いたら左へ90° 向きを変 えてさらに同じ歩数を歩き, そこに杭を立てる. 2つの杭のちょうど真ん中の位置に宝が埋まっている. ● 宝島に渡り目的の野原に着いたあなたは愕然とした. 桃の木だけが枯れてしまったようで跡形もなく なっていた. あなたは宝を掘り当てることができるかを論ぜよ. -m+n/2 図のように

(2)・(3) 宜しくお願い致します。

1 3点A,B), CCC)を頂点とする △ABCにおいて、辺BC, CA, ABの 中点をそれぞれL, M, Nとする。 B ア五十 2 u=a² + 2² z a²+ b N Br. て A (1)△ABCの重心Gの位置ベクトルg」ををa,b,c で表せ。 結果のみでよい。 a to +2 (2) 3点L,M,Nの位置ベクトル, 城,n を,それぞれ このうち必要なものを使って表せ。 M (3) (2)の結果を利用して, ALMNの重心の位置ベクトル g2を,a,b,cで表せ。 結果のみでなく過程を書くこと。 (4) 以上の経過より, △ABCと△LMNの重心について どんなことがいえるか簡単に説明せよ。