基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲
00000
2次方程式x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように,定数pの値
の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)
1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
p.81 基本事項 ②
指針2次方程式x-2px+p+2=0の2つの解を α,βとする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつβ-1>0
!
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3 と β-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の別解 参照。
解答
別解 2次関数
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, β とし,判別式
をDとする。
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する。
=(− p)²-(p+2)=p²_p−2=(p+1)(p−2)
4
解と係数の関係から a+β=2p, aß=p+2
(1) 2=(p+1)(p-2)≧0,
軸について x=p>1,
(1) α>1,β>1 であるための条件は
f(1)=3-p>0
!
D≧0かつ (a-1)+(β−1)>0 かつ (a-1)(B-1)>0
から2≦p<3
D≧0から (p+1)(p-2) ≥0
YA x=py=f(x)
よって
p≦-1, 2≦p
(α-1)+(β−1)>0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0
よって
p>1
(2)
+ α
P
0 1
B
x
(α-1)(β−1)> 0 すなわち αβ-(α+β)+1> 0 から
p+2-2p+1> 0
よって
p<3
(2) f(3)=11-5p < 0 から
求める』の値の範囲は, ①, ②,
③ の共通範囲をとって
-1
1 2 3
p> 11
5
2≦p<3
(2) α<β とすると, α <3 <βであるための条件は
題意から、α=βはありえ
J
(a-3)(B-3)<
ない。
すなわち
aß-3(a+B) +9<0
ゆえに
p+2-3・2p+9 < 0
よって
b>10
カ>
P
3-p
