（2）の（イ）で，なぜpが円上にあるのかわからないので教えてください

54 重要 例題 32 w=f(z) の表す図形 (3) z+1 (1) 複素数平面上の点zが単位円周上を動くとき, w=- ス2 wの描く図形を求めよ。 (2) z=1 である複素数zに対して, w= 単位円上1の円 上の虚軸上を動くとき、 次の問いに答えよ。 (ア) 点wの描く図形を求めよ。 (イ) |w+i+1|の最大値と最小値を求めよ。 (解答) (1) w=- (z-2) w=z+1 ゆえに (w-1)z=2w+1 ここで, w=1 とすると, 0=3 となり不合理である｡ よって, w≠1 であるから 点2は単位円周上を動くから 2w+1 w-1 z+1 z-2 CHART O SOLUTION w=f(z) の表す図形 zをwの式で表し、 の条件式に代入 (1) z=(式)をの条件式に代入する。 (2)(ア)「z虚軸上を動く｣ =0z+z=0 (zの実部) (イ)|w+i+1|=|w-(-1-i) から, P(w), A (-1-i) とすると, これは,2点 A,P間の距離を表す。 Aは定点であるから, 点Pが(ア) の結果の図形上を動 くときの距離 APの最大値・最小値について,図をかいて考える。 から ① ① を代入すると 2= ・1 2w+1 w-1 ²+1 +1 とする。点zが複素数平面 1² |z|=1 で表される点 ...... [(2) 類 静岡大] 基本 26,27 別解 「w=」の式を z = 」 の 式に変形する。 w-1=0 の可能性があ るから、直ちに w-1で 割ってはいけない。 の条件式。

［1］なぜ2π−αなのか図的に理解できないので教えてください 範囲を満たすためにやっているのはわかってるんですが，なぜこう表すのか理解できないです

う 重要 例題 21 複素数の極形式(2) 次の複素数を極形式で表せ。 ただし、偏角0は0=0<2πとする。 (1) cosaisina (0<a<2π) (2) sina+icosa (osa<) * 23と好 CHART @ SOLUTION 極形式r(cos+isin (1) 虚部の符号 - を+に→ sin(-9)=-sine を利用 実部も虚部に偏角を合わせる - cos (-8)=cose を利用 (2) 実部は sin を cos に 虚部は cos を sin に → COS A. Cos (e)sino, sin (6) = cose を利用 2 別解 与えられた複素数と Z = COsa + isina との図形的な位置関係から偏角 を求める。 解答 (1) cosa=cos(-a), -sina=sin(-α) であるから cosa-isina=cos(-a)+isin(-α) の形 三角関数の公式を利用 sinaticosa=cos だのか? =cos(2-a)+isin(2™-α) ① 0<a<2πより,0<2π-α<2πであるから,①は求める極形式である。 π (2) sing=cos (o), cosa=sin (フレーム)であるから 2 。 -icos a=cos (2-a)+isin (2-a) π π 0≦aより、0<a≦であるから, ② は求める極形式である。 ~² (2x - V 00000 (2) ²2=20 に関して対称であるから,の偏角は 2π-α よって z=cos (2π-a)+isin (2z-α) (2) z=sinaticosa とおくと z= (cosa-isina)=izo したがって,zはZを原点を中心と π ■αは偏角 0の条件 0≦<2πを満たさない。 基本10 YA 2π-α Zo

［3］どのように［ニ］を利用して解いているのかわからないので教えてほしいです

葉根の利用 複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。 (1) α^+α°+α²+α+1=0 であることを示せ。 (2)(1) を利用して,t=α+α はf2+t-1=0 を満たすことを示せ。 (3) (3) (2) を利用して, COS- 2012/3の CHART SOLUTION 解答 (1) α=1から a5-1=0 よって (a−1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0 α=1 であるから (2) α=1 から |a|5=1 ゆえに |a|²=1 すなわち aa=1 したがって, t=α+α から 1の5乗根 α =1 を満たす解 (1) 因数分解 x-1=(x-1)(x"-'+x"-2+......+x+1)を利用。 (2) ²=1のとき, |ω°|=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数) |a|=1 のとき aa=1 ...... (3) α=1の1つの虚数解をa=cos2/23 x + isin 1/3 とおいてみる。…… ゆえに πの値を求めよ。 a¹ +a³+a²+a+1=0 COS は α=1, α=1 を満たす。 2 a=cos-isin, t=a+ā 15 2 (2) から,t+t-1=0 であるから t>0であるから 12cos232x=-1+√5 よって |a|=1 よって [+(a+à)−1 = (a + ¹)² + ( a + ¹)-1 -1=Q*+α°+α²+a+1 L (3) cos2/23 x + isin 12/3とすると 120×5=2であるから t=2cOS 08²7=1+√5 4 -=0 PRACTICE･･･ 20 ④ 複素数αを α = COS- (4) 2 1 t=2 cos 2π is 27 + isin 2 とおく。 7 (1) of+o+a^+α+α'+αの値を求めよ。 (2) ta+α とおくとき セー2tの値を求めよ。 別解 (1) α=1 より 等比 数列の和の公式から 1+a+a²+a³ ta² _1-0²-1-1= [類 金沢大) 1-a ←aa=|0| (1) より t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5 2 α*+α3+α²+α+1=0. / は Cos/2/tisin COS 1の5乗根の1つ。 ←a+α=2x(αの実部) -1/ 2 =0 y la GOS/5 [類 九州大] 2

(2)の答えなのですが３枚目の写真は解答と同じなのでしょうか？

Clear 5zを絶対値が1の複素数とする。 (1) zzの実部が0となるようなぁをすべて求めよ。 (2) ²+zの絶対値が1となるようなぇ をすべて求めよ。 (3) n を自然数とする。 2" +1 の絶対値が1となるようなz をすべて掛け合 わせて得られる複素数を求めよ。 [04 東北大〕

数２の実数 x y を求める問題です。

(x+3i)(-2+i)=1+2yi

純虚数ってなんですか？

このような答えがでてきたとき、 実部と虚部で分けないと間違いですか？

(02-2 26 56-1 50 1:3

やり方が分からないので、詳しく教えてください。

実部と部に分け 271の3乗根のうち, 虚数であるものの1つをωで表すとき,次の値を求めよ。 1 ROSCLER (3) W (1) w+ (2) w²+ 1 w² S+x 1 w³ + 3 p.44

－7の共役な複素数ってなんで－7なんでしょうか？ プラス➕7ではダメですか？

なぜ、波線で書いた所は2乗しているのか？

基本例題 3 例題 3 複素数の絶対値 (1) 2点間の距離 (1) z=1のとき、 =1+; 0); 1/12/19 の値を求めよ。 ₁ 2+ (2)2点A(-1+5i), B (3+2i) 間の距離は? 等距離にある虚軸上の点Cを表す複素数は 解答 である。 指針 (1) z=1+ i, z = 1 -i を代入して計算してもよいが, ここでは絶対値の性質 hα = aa を利用して計算してみる。 この対代か 2代はこうしてなのか また,この2点から である。 CHART 複素数の絶対値は として扱う αf=ad 00000 (2)(ア)2点A(a),B(B) 間の距離は β-α|........ [ (イ) 求める虚軸上の点をC(α) とすると α=bi (b は実数) ←αの実部は 0 距離の条件 平方して扱う 条件 AC=BC を AC² BC2 として, 6の方程 式を解く。 10012+1/(2+1/2)(2+1/2)-(2+1/(2+12) -zz+//+2=1+1/+2 ここで,|2|=|1+²=12+12=2であるから 9 3 |2+ = 1 = 2 + 2 + + 2 = ²2² よって12+1/11/12 z+ p.10 基本事項 [5] 4= + =— = =+ (-1) ==+ = = =+ 1/201 <a=a+bi に対し [a] = |a+bil= √√√ a² + b² (1) ²2 であるか