例題
59
解答
面積の最小値
考え方 直線の傾きをmとして,面積をm の関数として表す。 面積の計算では
-f(x-a)(x-B)dx=12/2(B-α)” を利用する。
y-2=m(x-1)
6
x軸に垂直な直線は適さないから, 点 (1,2)を通る直線の方程式はy=m(x-1)+2
とおける｡
放物線y=x2 と, 点 (1, 2) を通る直線で囲まれた部分の面積Sが最
小になるとき,その直線の方程式を求めよ。
ここで
放物線とこの直線の交点のx座標は, 方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x2-mx+m-2=0
の実数解である。 2次方程式 ① の判別式をDとすると
D=(−m)²—4(m−2)=m²—4m+8=(m−2)²+4>0
よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。
それらをα, β (α<B) とすると
s=${m(x-1)+2-x4}dx
=f'(x-a)(x-B)dx=1/12 (B-α)
β-α=
a
m+√D
2
6
m− √D = √D = √ (m−2)² +4
2
S=
= 1/2 {√√(m_2 ) ² + 4 } ³ cr
よって
したがって,Sはm=2で最小となり,求める直線の方程式は
y=2(x-1)+2
すなわち
y=2x
AXT
YA
y=xl
|(1, 2)
a o B
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