演習 例 131 2つの2次関数の大小関係 (1)
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2つの2次関数f(x)=x2+2ax+25,g(x)=-x2+4ax-25がある。次の剣
成り立つような定数αの値の範囲を求めよ。
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つ。
(2)ある実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つ。
【指針 y=f(x), y=g(x) それぞれのグラフを考
えるのではなく, F(x)=f(x)-g(x)とし、
f(x),g(x)の条件をF(x)の条件におき
換えて考える。
(1)
y=f(x)
y=g(x)/
->
=F(
0
f(x
う
(1)
(2)
ly=f(x)
y=F(x)
A
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)
すべての実数xに対してF(x)>0
(2)
(2) ある実数xに対してf(x)<g(x)
大
ある実数xに対してF(x) < 0
このようにおき換えて, F (x) の最小値を
考えることでαの値の範囲を求める。
y=g(x)
[補足] 例題 115で学んだように, 判別式D
の符号に着目してもよい。
F(x)=f(x)-g(x) とすると
解答
ある
0=2(x-2)²²+50
1
F(x)=2x2-2ax+50=2x-
(1) すべての実数xに対してf(x)>g(x)が成り立つことは,
すべての実数xに対してF(x)>0, すなわち
[F(x) の最小値]>0 が成り立つことと同じである。
F(x)はx=1で最小値 - 04 +50 をとるから
よって
-
(a+10)(a-10) < 0
ゆえに
2
+50 > 0
検討
-10<a<10
(2)ある実数xに対してf(x) <g(x)が成り立つことは,
ある実数xに対してF(x) < 0, すなわち
[F(x) の最小値] <0 が成り立つことと同じである。
a²
「あるxにつ
ゆえに (a+10)(a-10)>0
が成り立つ
は
が少なくと
あるとい
よって
+50<0
2
よって
a<-10,10<a
習 2つの2次関数f(x)=x2+26+?
である。
