B(β)
z-a
z-a
よって,
7-B
Y-B.
Think
例題 C2.36 垂線の方程式,垂心
****
複素数平面において, 単位円周上に異なる3点A(a),B(β),C(y) を
定める.
ことを証
(1) 点Aから直線 BC に垂線lを引くとき, この垂線ℓ上の任意の点
D1S
P(z)について、z-a=By (2-2) が成り立つことを証明せよ。
(2) △ABCの垂心を α, β, y で表せ.
考え方 (1) 点A(a),B(3), C(y), P(z) について,|a|=|β|=|y|=1
解答
APLBC または z=a
z-a
(山形大改)
(2) 点Bから直線CAに垂線を引くとき,この垂線上の任意の点Q (ω) について (1)
1-1が純虚数または01-8=-1
と同様の式が成り立つ垂心は z=w となる複素数である.
(1) Pは垂線上の点なので,
AP⊥BC または z=α より
z-a -は純虚数または 0
Y-B
(A(α)→0(0)
とな
[B(B) → 0(0)
るように平行移動す
Pzると,P,Cは、それ
A(α)ぞれ
[P(z)→P (z-a)
IC(y)→C^(-3)
YA
P
1.
0
-1
1
上にある
であるから,
C(r)-1=0
に移る.
z-a
z-a
A
7-B
Y-B
両辺に y-βを掛けて,
P'(z-a)
z-α=-(y-β)
(28)
Ala
・①
ここで, 3点A(a),B(β), C(y) は単位円周上の点よ
り |a|=|β|=|y|=1
C'(r-B)
よって, zキαのと
したがって,|a|=||=|y|=1 であるから,
OP OC を
aa=βB=yy=1より,
0のまわりに今だ
a= B= y= .....2
a B'
A
(0-8)=0
け回転して実数倍
したベクトルより
②①に代入すると,
Z
z-a=-(y-β)
=BY (1)
1
1α18
8
2-
a
a
=(β-y)-
B-Y
B
BY
よって
00:
Z
・③
となり、題意は示された「円
z-a=k cos
a=k(cos
+isin(7-8)
RY=ki(7-8)
は0でない実数)
よって
zaki (純虚数
または0)
CES
③は直線lの方程式
(1+1を複素数で表現した
2
