(2)の問題の解説をお願いしたいです🙇‍♂️

■2=8点】 -4-6 X 2 2 x³+7x²-6=0 (x+6)(2 x= テ 6-49+24 - 13 土 ナニ (x-3)(x^2+3x+2) +9, (#1(93) x X-123+7×2-6 2- 3559-8 2 -31 --4.1.2 179x-6 裏へ続く -2,-1 2 9x2-9x

赤線で囲った部分がよくわかりません。教えてください。

A B3 式と証明・ 高次方程式 (20点) 多項式 P(x)=x(k-1)x+(3k-6)x+4k-6 がある。 ただし, は実数の定数とする。 (1) P(x) をx+1で割った商を求めよ。 (2) 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつようなkの値の範囲を求めよ。 また, こ の3つの実数解の積が1となるようなkの値を求めよ。 (3) 方程式 P(x)=0 が異なる3つの実数解をもち, すべての解が-2<x<1 を満たすと きのとり得る値の範囲を求めよ。 配点 (1) 5点 (2) 7点 (3) 8点 解答 (1) P(x) を x+1で割ると次のようになる。 x²-kx+(4k-6) x+1)x(k-1)x2+(3k-6)x+4k-6 +x² -kx"+(3k-6)x -kxi -kx (4k-6)x+4k-6 (4k-6)x+4k-6 0 よって, 求める商はxkx+4k-6 x²-kx+4k-6 完答への 道のり 多項式の割り算をして、商を求めることができた。 -37- 組立除法を用いて計算すると, 次 のようになる。 -11-(k-1) 3k-64k-6 -1 k-4k+6 1 -k 4k-6 0 (2) (1)より, 方程式 P(x)=0の解は,x=1と2次方程式 x-kx+4k-6= 0 の解である。 よって, 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、 ①が-1 ではない異なる2つの実数解をもつことである。 ここで、①の左辺にx=-1 を代入したときの値が0でないことから (-1)-k-(-1)+4k-6+0 k + 1 また、①の判別式をDとすると D=(-k)"-4(4k-6) =k-16k+24 ①が異なる2つの実数解をもつとき,D>0より k<8-2,10, 8+2/10 <k ② ③ より 方程式 P(x) =0 が異なる3つの実数解をもつようなkの値 の範囲は k<1, 1<k<8-2/10, 8+2√10 < k このとき、①の2つの解をs, tとおくと, 方程式 P(x)=0の解はx=-1, 8, tと表される。 ①において,解と係数の関係により s+t=k, st=4k-6 が成り立つ。 2次方程式 ax+bx+c=0 の判別式をDとすると 2次方程式 (*) が異なる2つの実 数解をもつ⇔D>0 ただし,D=4ac である。 >0のとき、2次不等式 ax+bx+c > 0 の解は(*)の2つ の実数解をα.β(α <β) とすると, x < a, B<x である。 2,1040 <7 より 8-2√10>1 解と係数の関係 2次方程式 ax+bx+c=0 の2 方程式 P(x)=0の3つの実数解の積が1となるから 一つの解をα, β とすると -st=1 ⑤ より 4k-6 -1 k = a+B= aẞ= 8-2/10- 27-8/10 4 √729-640 >0 4 すなわち、18-2410 となり,k2は、③を満たす。 圈 k<1,1<k<8−2/10, 8+2/10 <kik=2 解の吟味を忘れないようにする。 27=√27=√729,8,10=640

黄色いマーカーを引いたところってどのように計算して答えを出しますか？ 私が計算したら-1±√iが出ました。

基本 例題 61 高次方程式の解法 (2) 次の方程式を解け。 ①① 103 (1) x°+3x²+4x+4=0 (2)2x+5x3+5x2-2=0 p.101 基本事項 1 前ページと同様に,左辺を因数分解し、1次、2次の方程式に帰着させる。 公式利用,おき換えでは因数分解しにくいから,因数定理を利用する。 なお, (1) の左辺の係数はすべて正であるから, xに正の数を代入しても=0にはなら ない。よって, 負の数を代入してみる。 (1) P(x)=x3+3x2+4x +4 とすると 解答 P(-2)=(-2)+3(-2)'+4(-2)+4=0 (*) 組立除法 1 3 4 4-2 2 2章 11 1 高次方程式 よって,P(x) は x+2 を因数にもつ。 ゆえに P(x)=(x+2)(x2+x+2) (*) P(x)=0から x+2=0 または x2+x+2=0 x+2=0から x2+x+2=0から x=-2 - −1±√7i x= 2 したがって 1±√7i x=-2, 2 (2) P(x)=2x4 +5x3+5x2-2 とすると P(-1)=2(-1)*+5(-1)+5(−1)-2=0 よって,P(x) は x+1 を因数にもつ。 ゆえに -2-2-4 1 1 2 0 < x+2 を因数にもつこと に着目し, 割り算しない で P(x)=x3+2x2 +(x2+4x+4 ) =x2(x+2)+(x+2)2 =(x+2)(x2+x+2) と変形してもよい。 25 5 0 -2|-1 -2-3-2 2 P(x)=(x+1)(2x3+3x2+2x-2) また, Q(x)=2x3+3x2+2x-2 とすると (1/21)=(1/2)+3(1/2)+2.1/2- 2 3 2-2 0 +2・ -2=0 よって, Q(x)はx x-1/2 を因数にもつ。 12 20 3 2-2 224 ゆえに Q(x)=(x-212) (2x2+4x+4) Q(x)=(x-1)(2x+4x+4) =(2x-1)(x2+2x+2) (x+1)(2x-1)(x2+2x+2)=0 x+1=0 または 2x-1=0 よって ゆえに x+1=0から または x2+2x+2=0 x=-1 2x-1=0から x= x2+2x+2=0 から したがって x=-1±i 1 x=-1, -1±i 2 2 1 2 4

この問題ですが、最高次の項にしか注目しないというのは、どのように考えた結果（？）なのでしょうか。 初めてこの問題を見た時に、この考え方は浮かびませんでした💦浮かんだ人の頭の中を知りたいです🙇‍♀️

X 42 重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 00000 |多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし,f(0) =1 であるという。このとき, f(x) を求めよ。 [一橋大〕 基本 15 |指針 例えば、f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。 →f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax+bx"-1 (0, n≧1) とおいて 進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ,右辺2xと比較するこ とで次数nと係数 αを求める。 なお, f (x) = (定数) の場合は別に考えておく。 5 基本 11 恒 恒123条与比例 2条 3 f(x)=c(cは定数) とすると, f (0) =1から f(x)=1 解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから、不適。 よって、f(x)=ax+bxn1+...... (a≠0, n≧1) (*) とす ると この場合は,(*)に含ま れないため、別に考えて いる。 a b え f(x+1)-f(x) I+x=x =a(x+1)"+6(x+1)"' + ...... - =anxn-1+g(x) ...-(ax" + bxn−1 +......) (x+1)* =x+nCix-1+nCzx-2+... 解 のうち, ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最 高次の項を比較して 例 n-1=1 ... D, an=2...... ・② a(x+1)"-ax " の最高 次の項は anx-1 で 残 りの項はn-2次以下と なる。 上 (a ①から n=2 ゆえに、②から a=1 <anx”と2xの次数と 係数を比較。 1 a+ このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 SLED またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが, ゆ =2x+6+1 比例 結果は同じ。 よって 2x+6+1=2x すなわち この等式はxについての恒等式であるから b+1=0 係数比較法。 b=-1 したがって f(x)=x-x+1 Ita 値が また, 例 POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効 a b よ f(x)は最高次の係数が1である多項式であり、正の定数a,bに対し,常に ③_21_f(x2)={f(x)-ax-b}(x2-x+2) が成り立っている びα, bの値を求めよ。

四角で囲った部分ってどうして必要なんですか？？ f（x）は多項式ということは、f(x)=c（定数）というのはありえないと思いました。

42 X 重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 0000 多項式f(x)はすべての実数xについてf(x+1)-f(x)=2x を満たし、 であるという。 このとき, f(x) を求めよ。 f(0) 指針 例えば,f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+cとおいて進めること できるが,この問題ではf(x) が何次式か不明である。 .... f(x)はn次式であるとして,f(x)=ax"+bx-1+(a≠0, n≧1) とおい 進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較する とで次数nと係数 αを求める。 なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 基 2 3 f(x)=c(cは定数) とすると, f (0)=1から f(x)=1 この場合 れないため、別に考え いる。 解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから、不適。 よって, f(x)=ax+bxn-1+...... (a≠0, n≧1) (*) とす ると f(x+1)-f(x) I+ =a(x+1)"+6(x+1)"'+…………..- ·−(ax+bx^-1+......) =anx-1+g(x) ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから, 最 高次の項を比較して ①から n-1=1 ・①, n=2 an=2.. ② ゆえに、②から a=1 このとき,f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 (x+1)^ =x"+"Cix-1+C24 のうち, a(x+1)"+ax"の影 次の項は anx"で、 りの項は2次以下 なる。 anx1と2.xの次数と 係数を比較。 またf(x+1)-f(x)=(x+1)+6(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが、 よって =2x+6+1 2x+6+1=2x この等式はxについての恒等式であるから すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1 結果は同じ b+1=0 係数比較法。 POINT 次数が不明の多項式は, n次と仮定して進めるのも有効

数学の高次方程式についてです。 写真の（2）なのですが、k≠1,k<8-2√10,8+2√10<kまでなら理解できたのですが、そこから、 方程式P(x)=0が異なる３つの実数解を持つようなkの値の範囲にk<1が入っているのがなぜなのかわかりません💦 k>1がダメなのはなぜな... 続きを読む

B3 多項式 P(x)=x-(k-1)x2+(3k-6)x+4k-6がある。 ただし, kは実数の定数とする。 (1) P(x) をx+1で割った商を求めよ。 ーkx+4k-6 (2) 方程式P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつようなんの値の範囲を求めよ。 また、こ の3つの実数解の積が1となるようなkの値を求めよ。 3)+) (+) (3) 方程式 P(x) = 0 が異なる3つの実数解をもち、すべての解が-2<x<1 を満たすと きっ kのとり得る値の範囲を求めよ。 (配点 20 )

極限の問題で、写真の解答は分母の最高次で割っていると思うのですが、かっこの中が1＋1/nになる理由が分かりません💦 なぜそうなるのか教えていただけると幸いです！🙇🏻‍♀️

1 このとき n³ + n² -n³ (1) √√n³+n²-n=- 2 1 (w+²)}+++++++1 (n³ +n²)³ + (n³ +n²)³n +n² n n n18 1-3||

次の方程式を解け。という問題です x＝5でも方程式を満たしているのに答えになっていないのはなぜですか？ どこのやり方が違うのか教えてください

(5) x³-4x²+5x=0 x(x²-4x+5) = 0 (4-x) (1+x) x x=0,-1.5"

すみません数学αの147と148を教えてください。 回答を見てもそもそも何の目的で何をしているのかわかりません。計算式も省略されていて分からないので丁寧に教えていただけると幸いです。

を 146 次の問いに答えよ。 *(1) x=2-√3 のとき,エー4エ²+5xの値を求めよ。 (2) x=1-2i のとき、3+9-6z+8 の値を求めよ。 *(3) I= 1+√3i = 2 のとき、x²+2x+4 の値を求めよ。 Level C|||| LINK 147 多項式P(x) を x-3x+2で割ったときの余りは-x+4である。 また、 P(x) を4x+3で割ったときの余りは3である。P(x) をポー5z+6で割 ったときの余りを求めよ。 ② 148P(x)=(x-1)(xzn-1), Q(z)=(z-1)(x-1)とし, nは正の奇数である とする。 (1) æ"+1 は x+1 で割り切れることを示せ。また,x2n+1は2+1で割り切 れることを示せ。 (2) P(x)はQ(x) で割り切れることを示せ。 ました Desi from woods which enrich our lives 4 因数定理 $35 すばらしい できまし

すみません数学αの144の問題なのですが、⑴は分かりますが、2と3の問いが解けません。 Pの中身が分数になるときは、どうやってこのP（X）の中身を導くんでしょうか？ 回答が省略されすぎているので、良ければ一行ずつ回答していただけると幸いです。

31 141+ax²-4x+bを.2.x-3で割ったとき, 余りが5(x+1)であると う。定数α,bの値を求めよ。 *142 多項式P(x) を, x+2 で割ると-4余り, x-3で割ると6余る。 (x+2) (x-3)で割ったときの余りを求めよ。 143 0 +1 を1で割ったときの余りを求めよ。 144 次の式を、係数の範囲が有理数の場合について因数分解せよ。 (1) 3-15x-4 *(2) 4.x3+x+1 (3) 2x³-x²+9 145 次の式を、係数の範囲が複素数の場合について因数分解せよ。 11(1) x³+x²+9x+9 (3) 4x+16x+15x²-4x-4 Pla る。 ゆえに -1-√√5 146 次の問 *(1) 0 x=2- (2) x=1- *(3) x=- P(x)* 147 多 *(2) * +5.3+10m² +20 +24 *(4) x4-2x³-8x²+10x+15 ったと 148 142 143 多項式を2次式で割ったときの余りは ax +6 とおける。 ヒント 139 αキ6 のとき, 多項式が (x-a)(x-b) で割り切れるならば、 多項式は コール でも x-b でも割り切れる。 逆も成り立つ。 とす (1) (2)