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例題21
楕円の2接線が直交する点の軌跡 0
=1…O に引いた2本の接線が直交する。
点P(b, q) から楕円
23
双田線の性質
の
4
の
き,点Pの軌跡を求めよ。
= -4(mp-q)° + 4(4m° + 1)
1
=4((4-が)m+2bqm+1-q}
章
(4-が)m° +2pqm +1-°= 0 ④ こ
よって
4-がキ0 であるから, m についての2次方程式④の
2つの解を mi, m, とすると, m,, m, は2本の接線の傾
きを表す。
2本の接線が直交するとき m,mg =-1 であり,解と
軌跡の問題である。
の本
Dキ±2 より 4-がキ0
I 軌跡を求める点PはP(b, q)とおかれている。
→hgの関係式を求めたい。
4
AP(b, q)
2 与えられた条件を式で表す。
未知のものを文字でおく
1- ら
4-が
0
係数の関係より
Mim2
2本の接線の傾きを考える。
→接線を yーq=m(x-p)…2 の形でおく。
条件の言い換え
《CAction 直交する接線は, 重解条件と垂直条件を利用せよ 例題 20
2x
Aclion
よって
1-
4-が
が+ポ=D5(カキ±2)
ここで,④の判別式を D。とすると
=-1
Ae
o
のと2を連立した方程式を③とすると
の
00 4
D。
=が+4q°-4
4が+=5 より
=5-
mの2次方程式
①と②が接する →(3の判別式)= 0 …④
= 3q°+1>0
条件の
0
ゆえに,すべてのqについて④ は
異なる2つの実数解をもつ。
1点Pが楕円の外部にある
とき が+4g°>4より
D,>0 となり ④は2つ
の実数解をもつ,と考え
てもよい。
-2
2次を
(接線が2本ある →0を満たす実数 m が2つある。
F+xm)
よって,息Pの軌跡は
x°+ y° =5(xキ ±2)
「m, m, とすると
条件のより mim, = -10=D ケ
3 2の式から, q以外の文字を消去して,か, qの式を導く。さケ 0
イ)で求めた軌跡に(ア)の
4点を加えると
円x+y=5 全体とな
除外点がないか調べる。
(ア),(イ)より,求める点Pの軌跡は
した円x+°=5
5
るす S左呼 大式大9
開(ア) 点Pを通る直線 x=D p が楕円
に接するとき
よって,4点(2,1), (2, -1),
(-2, 1),(-2, -1) から, 直交
する楕円の接線
x= ±2, y= ±1(複号任意)
が引ける。
(イ)pキ±2 のとき
接線はy軸と平行でないから, 点
Pを通る直線は
V5
オx
1
る。
p= ±2
4点Pを通る直線は
-2 02-
ロ
x=p または
PA
-1
yーq= m(x-p)
頂点における接線
x= ±2, y=±1(複号
任意)の交点である。
0
ー5
ケの せ
Point 楕円の2接線が直交する点の軌跡
例題 20 の Point (2) で学習したように
放物線C に引いた2本の接線が直交す
るような点Pの軌跡は放物線Cの準
線である。
tー方, 例題 21 で学習したように, 楕円
Cに引いた2本の接線が直交するよう
な点Pの軌跡は円となる。 この円を楕
円Cの準円という。
図1
図2
P/
準円
P
3階隊 o
C
y= m(x-p)+q
とおける。
の, 2 を連立すると
…2
の
準線)
yーq= m(x-p)
0
る (
(例)
x+ 4{m(x-p)+q}° = 4
(Am?+ 1)x-8m(mp-q)x+4{(mp-)-3=0· 44m +1+0 より,③は
一般に,楕円 +
=1 の準円は x+y? = α'+6となる。
楕円のと直線2が接するとき, 2次方程式③の判別式
を D,とすると
D、= 0
|xの2次方程式である。
D、
= 16m°(mp-q)°-4(4m° + 1){(mp-g)'-1}
r O~
4
練習21 楕円 2:x+ y=2…① に引いた2本の接線が直交するとき,その交点Pの
曲跡を求めカ上
|22次曲線と直線
最考のプロセス
