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例題 50
判別式と解と係数の関係
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xについての2次方程式 x2-2mx+3m²-m-3=0の解α,βがとも
に実数のとき,'+' の最大値、最小値とそのときの実数mの値を求めよ.
「考え方」解と係数の関係から+°をα+B,aßを用いてmの式で表すと+°はmの
2次式で表すことができる。このことから 2次関数の最大・最小の考えを利用する。
このときのとり得る値の範囲について考えなければいけないが,これは,与えら
れた2次方程式が実数解をもつことから、判別式を利用する
解答
x2-2mx+3m²-m-3=0
・・① とする.
①において,解と係数の関係より
a+β=2m,
aβ=3m²-m-3
であるから,一
a2+β°=(a+B)2-2
=(2m)2-2(3m²-m-3)
=-2m²+2m+6
ax2+bx+c=0
(a≠0) の解α, βに
ついて.
α+B=b. a=c
a'
a
第2
+ do
1
13
=
m
D
また①の判別式をDとすると,実数解をもつから, D≧0
もとの方のDO
4.
=(-m)-(3m²-m-3)
=-2m²+m+3
したがって
-2m²+2m+6
=-2(m²-m)+6
2
=-2{(m −1 )²
-(+)}+6
「実数解をもつ」は,
0」と「D=0」
-2m²+m+3≧0
2m²-m-3≤0
をまとめた「D≧0」
くして
(m+1)(2m-3)≤0
3
これより、 -1≤m≤
範囲をだすには
判別式!!
考える.
九大 (8)
したがって、③の範囲で
y=-2m²+2m+6のグラフをかくと
13
最大
-1
2
32
3 m
②より、右の図のようになる.
6
よって、グラフより α' + β2 の最大
固定(日)
値、最小値は,
最小 12
mの範囲に注意 2014
13
最大値
m=1/12 のとき
2
R
-11
1013!
m
122
Focus
最小値 2 (m=-1のとき)
最大・最小の問題は,変域に注意
#s
