数列{an}は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす
ものとする. このとき,次の (1), (2),(3) を示せ .
(1) n=1,2,3, に対して,0<an<3
n-1
(2) n=1,2,3, に対して, 3-an≦ ≤ (1²) - ² (3-α₁)
3
(3) liman=3
118
...
解
答
(1)0<a<3 ...... ① を帰納法で示す.
(i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ。
(i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <ak+1<4
・各辺に
1<√1+ak <2⇒2<1+√1+ak <3
21. <3巻辺に+1 +1
←2 < ak+1 <3
レート化
よって,0<αk+1 <3 が成りたつ.
(i), (ii)より, すべての自然数nについて, ① は成りたつ.
(2) an+1=1+√1+an3an+1=2√1+an まず 左辺に 3-α+1
をつくると
右辺にも 3-anがでて
右辺=(2-√1+αn)(2+√1+αn)
_
2+√1+an
3-an>0 だから,
(1)より 1<√1+an<2=3<2+√1+an<4
=1/2
•
3-an
2+√1+an
2+√1+an
3-An
2+√1+ a < (3-an)
3-a
-an+1 < (3-an)
[L]
くる
1
3
