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0
不等式は
三数xは
1.
雪に成立。
A=0
一成立。
にしないよう
ばよいから、
ってくる
基本例題112 2次不等式の解から不等式の係数決定
次の事柄が成り立つように,定数a, bの値を定めよ。
(1) 2次不等式 ax²+bx+3>0 の解が-1<x<3である。
(2) 2次不等式 ax2+bx-24≧0の解がx≦-2, 4≦xである。
指針 2次不等式の解を, 2次関数のグラフで考える。
f(x)=ax²+bx+c(a≠0) とすると
① f(x)>0 の解がx<α, B<x (a <B)
⇔y=f(x)のグラフが,x<α,B<xのと
きだけx軸より上側にある。
a>0 (下に凸), f(a) = 0, f(β)=0.......
(I+A)(0+a)=C+401
①,9a +36+30 ...... ②
② f(x)>0 の解が α<x<B
1030
⇔y=f(x)のグラフが, α<x<βのときだけx軸より上側にある。
a<0 (上に凸), f(a) = 0, f(B)=0
(2) 不等号に等号がついているが,上の⇔ の内容はそのまま使える。
解答
(1) 条件から, 2次関数y=ax2+bx+3のグラフは,
1<x<3のときだけx軸より上側にある。
すなわち, グラフは上に凸の放物線で2点(-10 (30)
を通るから
(x+1)(x-3)<0
両辺に-1を掛けてーx2+2x+3> 0
1 [a>0]
a<0, a-b+3=0 ••••••
①,②を解いて α=-1,6=2
これはα<0 を満たす。
別解 -1<x<3 を解とする2次不等式の1つは
左辺を展開してx²-2x-3<0
......
+
a
ax²+bx+3>0と係数を比較して
a=-1, b=2
(2)条件から2次関数y=ax²+bx-24 のグラフは,
x<-2,4<xのときだけx軸より上側にある。すなわち,
グラフは下に凸の放物線で2点 (2,0),(4,0)を通るから
1
①, 16a+46-24=0
a>0, 4a-26-24=0
①,②を解いて α=3、b=-6
別解x≦-2, 4≦x (x+2)(x-4)≧0x22x80
⇔3x²-6x-24≧0
ax2+bx-24≧0と係数を比較して
a=3, b=-6
これはα> 0 を満たす。
JB
(1)
(0-1/
2 -2
③112 (1) 2次不等式 ax²+8x+b<0 の解が-3<x<1である。
練習次の事柄が成り立つように、 定数 α, b の値を定めよ。
1
Lhx+1≧0の解がx≦-
2'
000
② [a<0]
a
[a<0]
+
基本106
+
3x
Bx
(x-a)(x-B)<0 (a<B)
a<x<B
< ax2+bx+3>0 と比較する
ために、 定数項を+3にそ
ろえる。
(2) [a>0]
(x-a)(x-B)≥0 (a<B)
⇒x≤α, B≤x
ETT
3≦xである。 〔(2) 愛知学院大]
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章3 2次不等式
3章
13
10
