多項式の問題です 上二行の解説が何回読んでもわかりませんわかりません なんで不適になるのでしょうか

2 重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 00000 X 多項式(x)はすべての実数をについて(x+1)-f(x)=2xを満たし(0)29) [一橋大 ] | 基本1 であるという。このとき, f(x) を求めよ。 指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。 →f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax"+bx"-1+...... (α≠0, n≧1) とおいて 進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺2xc と比較するこ とで次数nと係数αを求める。 5 基本事 1 2 2 なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 3 TRA f(x)=c(cは定数) とすると, f (0) =1から f(x)=1 解答 これはf(x+1)-f(x) = 2x を満たさないから,不適。 よって, f(x)=ax+bx"'+...... (a≠0, n≧1)(*) とす ると この場合は,*) に含ま れないため、別に考えて いる。 0=1 f(x+1)-f(x) n-1 =a(x+1)”+b(x+1)*¯¹+….....— -(ax" + bx"-1+......) I+x=s =anxn-1+g(x) ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最 高次の項を比較して n-1=1 D, an=2 ...... ② ①から n=2 ゆえに、②から a=11- ① (x+1)*① =x"+nC1x"-1+nCzx-2+... のうち, a(x+1)"-ax” の最高次 の項は anx”-1で残り の頃はn-2次以下とな る。 anxn-1と2xの次数と 係数を比較。 このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0)=1から c=1 -=== またf(x+1)-f(x)=(x+1)^+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが, =2x+6+1 結果は同じ。 よって 2x+6+1=2x この等式はxについての恒等式であるから b+1=0 係数比較法。 すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1 FI POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効

⑴の問題で、x=1だったら否定した命題は偽になりませんか？

発展 307 次の命題の否定を述べよ。 また, もとの命題とその否定の真偽 を調べよ。 すべての実数xについて (x+1)2>0 (2)ある自然数nについて n2=5 ③

数学の微分積分の分野について質問です。 写真の問題の問題について、 左辺をXで微分すると、g(x)+xg(a)になると解説に書いてあったのですが、g(x)の部分は分かりますが、xg(a)がなぜそうなるのか全然分かりません💦 教えてください🙇‍♀️ お願いまします🙏

ハスの花数頃の値を求めよ。 ✓ (2) 次の関係式を満たす定数aおよび関数g(x) を求めよ。 S{g(t)+tg(a)}dt=x-2x-3 [ 12 埼玉大 ] *157 f(x)=r-?rとおキ 0 < r s t i talt 31 f ( x ) + titik a(+) > >>

二次関数の問題です。 ラストでaの範囲を求める際 なぜ－4<a<－√2 は範囲に該当しないのですか 存在範囲の問題の最後の最後でいつも間違えてしまいます。 範囲を見極めるコツとかあったらそれも知りたいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

特講 例題 111 方程式の解の存在範囲 [3] D [頻出] ★★☆☆ xについての2次方程式 x2 + (α-1)x-a+2=0の1つの解が20 の間にあり、もう1つの解が0と1の間にあるような定数αの値の範囲を 求めよ。 既知の問題に帰着 3章 2次関数と2次不等式 思考プロセス (例題 109 (3)... 1つの解が 例題 111 x < 0, もう1つの解が 0<x …1つの解が-2<x< 0, もう1つの解が0<x<1 ⇒端点 x = -2, x=1の条件をどのようにすればよいか? Action» 2数α, bの間の解は, f (a), f (b) の符号を考えよ ■ f(x) = x +(a-1)x-d+2 とおく。 f(x) = 0 の2つの解を α, β (a <β) とすると,-2<α < 0 <B<1であ るから,グラフは右の図。 よって f(-2) = -α-2a +8 > 0 f(0) = -α+2 < 0 ...(2) y -2 y=f(x) のグラフは,下 に凸の放物線である。 a O 1 + O + -2. 1 x f(1) = -a° + a +2 > 0 ① より, d' +2a-8 < 0 となるから よって 4<a<2 ・・・ ④ ... ②より, d-2 > 0 となるから (a+4) (a-2) < 0 (a+√2)(a_√2) > 0 よって a<-√2,√2<a … ⑤ ③より,d-a-2<0 となるから (a+1)(a-2) < 0 よって -1<a<2 ⑥ ④~⑥ より, 求めるαの値の範 (5) (5) x f(-2) > 0, f(0) < 0, f (1) > 0 のとき,必ず y=f(x) のグラフと x軸 は2点で交わるから 判 別式について考える必要 はない。 また,頂点や軸の位置に ついては,特に考慮しな くてもよい。 囲は √2 <a< 2 Point... 方程式の解の存在範囲 関数 f(x) が a≦x≦b の範囲で連続(つながった曲線) で,f(a)f(b) < 0 ならば,f(c) =0 となるcがαとも の間(a<c<6) に存在する。 y=f(x)/ y=f(x) a x cbx 不等式 f(a)f(b) < 0 は f(a) と f (b) が異符号であ ることを表し {f(a) > 0 の場合と 1f(b) <0 {f(a) <0 の場 \f(b)>0 合の両方を表している。

まるで囲ってある1/xについてです。 f（x）の中には1/xが含まれてないのにどうしてなくなるんですか？？（説明下手でごめんなさい、、、。 教えてほしいです。お願いします。

* Example 14 ***** xox 極限値 lim .log{log(x+e) } を求めよ。 [類 14 防衛医大] 解答 f(x)=log{log(x+e)} とおく。 f(x) の定義域は x+e>0 かつ log(x+e) > 0 よって x+e>0 かつ x+e>1 ゆえに x>1-e Key f(x) =log{log(x+e)} とおいて,微分係数の また,f(0)=log (loge) =10g1=0 であるから 定義 lim f(x)-f(a) x-a =f'(a) x-a ( lim110g{10g(x+e)}= lim f(x)-f(0) xox ここで,f(x) は x>1-e において微分可能な関数で を利用する。 x→0 x-0 [大 [大町 よって 1 f'(x)={10g(x+e)} xte = log (x+e) log(x+e) = 1 (x+e)log(x+e) (x f(x)-f(0) x→0 x-0 10am mil = f'(0) = 1/4 =(0)=1/ 答 ( xx in☺log log{log(x+e)}=lim (D mil

この問題の解き方が分かりません。 2枚目のところまでは解いたのですがここからが分かりません。そもそもここまでのやり方が間違っているのでしょうか。 わかる方、教えていただけると助かります🙏🏻‎

139 正の数αと実数xについて,a-a-3*=14 が成り立つとき,af-a-ata-の 値を求めよ。

Ｑ． 2次関数で変域が決まってるとき写真のように変域じゃないところは点線で書いたほうがいいですか？

(2) 12 y B 10 18 B W 6 41 6 4 12 7 2 4 9 48 10. 12

一対一対応数II微分 赤線部になる理由がわかりません💦

7/27 9 接線の本数 関数 y=x-3.xのグラフについて, (1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。 に (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が ( (中央大商/一部変更) 存在する範囲を図示せよ. 接線の方程式 定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線 定点を通る接線を求める を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接 線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式 を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると, b=f'(t) (a-t) +f (t)① この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において, 点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点 (a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照). 曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で, (t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t) y=f(x) (a, b) (エ)\ 解答 (1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の 方程式は y=(32-3)(x-p)+p-3p (2) (1) の接線が (a, b) を通るとき, y=(3p2-3)x2p3 b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0 ・① 点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方 程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること･･････ ② である (注) (2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺) とおくと, f'(p)=62-6ap=6p(p-a) であるから,②となるのは、 右図より, a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」 のとき. q=f(p)| B a p YA a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \ よって, 点 (a, b) が存在する範囲は a B g y=f'(p)(x-p) + f (p) 3次関数の場合, 接線と接点が1 対1に対応する y=x3-3x3(土)ーは 01 一般に3次関数y=f(x)のグラ フに対して引くことができる接 線の本数は,領域ごとに下図のよ +1913.\s (1071 x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」 10 x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし, 白丸は除く). y=-3x 2本) y=f(x)/ 注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接 点が2個ある場合があるので, 3本 1本 we 2本/ 1本 (接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない I) 1本 3本 2本 9 演習題(解答は p.128 ) る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする. 曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす (t, f(t)) での接線が (千葉大・理一後) (α, β) を通るとする. 122

下の問題で二階微分までして概形を求める必要があるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

基礎問 80 微分法の方程式への 曲線 y=x4.xについて (1) y=x-4.x3 のグラフの概形をかけ. (2)の方程式 -3㎡=x+αの異なる実数解の個数をαの値で分 精講 類して答えよ. (1) グラフの概形をかくときに必要なことは78 のポイントにあげ 4項目です。 (2) 3次で定数αを含んだ方程式の解について ⅡB ベク 95 で学ん でいますが, 考え方は次の通りです。 f(x)=αの形に変形して,y=f(x) と y=αのグラフを利用する 解 (1)y'=4z-122=4.x2(x-3) y'=0 を解くとx=0, 3 →注1 y"=12x2-24x=12x(x-2) y=0 を解くと x=0,2 一答 また,増減,凹凸は下表のようになる. 23 0 14 I 20 ... 2 .... 3 ... y' - 20 - 0 + y" + 0 - 0 + + + y 0 -16- -27 J ゆえに、グラフは右図 . -27H 注1 x=0 のとき y'=0 ですが,極値ではありません. (2) m4 23 注2 整式で表された関数は漸近線をもちません (ⅡB ベク 89 )

この問題の解答の上から6行目のところにxは0じゃないとして良いと書いてあるのですが、なぜですか？教えてください。

ff(t) すべての実数xについて、等式 xf(x)=x+2" f(t)dt を満たす関数 x f(x) を求めよ。 « @Action 上端(下端)が変数の定積分はf(t)dt=f(x)を利用せよ 例題163 定理の利用 y=f(x) とおくと をxで微分する f(x) +xf'(x)=1+2f(x) = y+xy'=1+2y 微分方程式 にx = 1 を代入 1•f (1) = 1+2 (1) = 1 +2ff(t)dt h tanoith 0 思考プロセス 例題 163 xf(x)=x+2*f(t)dt... ① とおく。 2f*f(t)dt… ① とおく。( ①の両辺をxで微分するとf(x)+xf'(x)=1+2f(x) dy y = f(x) とおくと x =y+1 dx ② 関数 f(x) はすべてのxについて定義されており 定数関数 f(x) = -1 は等式①を満たさないから, x(y+1)=0 としてよい。 よって, ② より 両辺をx 積分すると log|y + 1| = log|x| + Ci よって y = ±ex-1 これより 両辺をxで微分して微分 方程式をつくる。 cxS*f(t)dt = f(x) 関数 f(x) = -1 のと ①の左辺は 右辺はは x+2 x 2∫(-1)dt x-2t |=x-2(x-1) =-x+2 1 dy 1 = y+1dx x dy dx = y+1 x |y+1| = eloglxl+C=ecielog|xl=eci|x| dを満たさない。 ここで, C=±e とおくと y=Cx-1 (C≠0) gol 例題 164 また,① に x = 1 を代入すると f (1) =1であるから, 1=C・1-1 より C = 2 L' f(t) dt = 0 であるか したがって, 求める関数 f(x) は ら f(1) = 1 f(x)= となり,f(x)=-1 は ①