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基本例 149 定積分の置換積分法 (2) x=asind
000
次の定積分を求めよ。 (1) では αは正の定数とする。
(1) S²√a²-x² dx
(2)
Or So
√2 dx
√√4-x2
指針 これらの被積分関数の不定積分は、高校の数学で出てくる関数だけで表すこ
ない。しかし、特定の積分区間をもつ定積分については, 置換積分法でその
ることができる。
この問題では,(1)x=asin0, (2) x=2sin0とおき換えると解決できる。
α 26
(1)xA
a
02
CHART ax の定積分 x=asin とおく
(1) x=asin0 とおくと
dx=acos Ado
xとの対応は右のようになる。
400のとき、cos0 >0
よって
ゆえに
6
√a-x2=√a2(1-sin20)
= √ a² cos² 0 = acost
XC 0-
0
0
S² √a²x² dx = (a cos 0) a cos 0 de
=a*S*cos² 6 do=a²
a2
a²
= 0+
2
=
a²
4
1+ cos 2
sin 201a²
2
TC √√3
3
+
2
==
10 2
1+cos 20
2
de
π 1 √3
(
6
+
2
2
解答
(1)
6
