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(1) 前ページの例題29 と同様に, (差の式) 0 は示しにくい。
A=A' を利用すると, 絶対値の処理が容易になる。 そこで
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次の不等式を証明せよ!/15
基本 例題 30 絶対値と不等式
(1)|a+6/≦|a|+|6| (2) |a|-|6|≧|a+b1 △(3) la+b+cl≦lal+16
×5/15
000
基本29
ズーム
UP
絶対値を含む不等式の扱い
絶対値を含む式の扱いは,苦手な人も多いだろう。
指針
絶対値を含む不等式の証明
数学Ⅰでは,絶対値を含む式の扱いに
ついて 絶対値 場合に分ける
絶対
①
③
⑤
⑦
A≧0, B≧0 のとき
A≧B⇔ A'≧B'A'-B≧
の方針で進める。 また、 絶対値の性質 (次ページの①~⑦)を利用して証明
(2)(3)(1)と似た形である。そこで,(1)の結果を利用することを考えるとよい
CHART 似た問題 11 結果を利用
②方法をまねる
=2(lab-ab)20
(1)|a|+|6|-la+b=a+2|a||6|+62-(a2+2ab+62) | |A=A
|ab|=|a|||||
解答
よって
la+bs (lal+161)²
la+6|≧0|a|+161≧0 から
la+6|≧|a|+|0|
この確認を忘れ
別解]一般に, lal≦a≦lal,-1666 が成り立つ。 A≧A, A
この不等式の辺々を加えて
したがって
-(lal+161)≦a+b≦lal+101
la+ba+b
(2)(1)の不等式でαの代わりに a+b, 6の代わりに-b
(a+b)+(-6)≦la+6|+|-6|
とおくと
よって |a|≦la+6|+|6| ゆえに |a|-|0|≦la+6|
別解 [1] |a|-|b < 0 のとき
a+b≧0であるから,|a|-|6|<|a+6|は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0のとき
la+6-(|a|-161)=α+2ab+62-(2-2|a||6|+62)
=2(ab+labl≧0
よって (a-ba+b²
|a|-6|200+610であるから|a|-|0|≦1a+61
[1] [2] から |a|-6|≦1a+b1
(3)(1)の不等式での代わりに6+c とおくと
la+b+c)≦lal+16+cl
≦|a|+|6|+|cl
よって
la+b+cl≦|a|+|6|+|cl
から -A
-B≤ASB
ASB
ズームUP
<|a|-|6|<
練習 (1) 不等式√2+2+1√x+y+1≧lax+by+1|を証明せよ。
[2] の場合は、
辺, 右辺は
るから、
(右辺)-(左
を示す方針が
(1)の結果を利
(1)の結果を
(b+cb
③_30_(2) 不等式 |a+b|≦|a|+|6|を利用して、次の不等式を証明せよ。
(イ)|a|-|6|≦1a-bl
(ア)10-6≦|a|+|6|
すなわち, 右の②を利用して場合分
けし、絶対値をはずして進める方法を
学んだが、例題 30 はこの方法では対
応が難しい(証明できなくはないが、
場合分けの数が多く煩雑になる)。
そこで,次のように考えていく。
" (1) 指針で書いたように, (右辺) (左辺)
きない。 ここでは,||≧0 から, (左辺
例題 29 同様に (右辺)(左辺) ≧0 を
(2)左辺|a|-|6|は負の場合もある。 そこ
|a|-|6|≧0 に分け,|a|-|6|≧0 の場
よいが,次のように考えると (1) の結果
証明する不等式は |a|≦|6|+|a+
||||+||と似た形。 そこで,
10+01≤101+|0| ---
とみて,○+□=α となるように
|a|≦|a+6|+|-6
ここで,|-6|=|6|であるから,
(3) は (1) の結果を繰り返し2回使うこ
参考 (1)(3)の不等式は三角不等式
例題 30 の不等式の等号成立条件
(1)等号が成り立つのは、解答のア
すなわち |ab=ab から, ab≧0
(2)等号が成り立つのは、(1)の等号
もの代わりに-bとおいた(a+
(3)等号が成り立つのは、(1)の等号
とおいたa(b+c)≧0,かつの
(a≧0 カー
a(b+c) ≧0ならば
また, bc0 ならば (6≧0 か
よって,a≧0b≧0c≧0 ま
