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【5】
a,Bがa>0°,β>0°, a +β<180° かつ sin' a + sin'β = sin' (a +β) を満たすとき,
sina + sin β のとりうる値の範囲を求めよ.
加法定理を用いると
sin² a + sin² B
+ sin
?
= (sinacosβ+ cosasin β ) 2
= sinacos2β + cos?asin2 β
∠A= α, ∠B=β,∠C=180°-(a+β)
BC=a, CA=b, AB = c
として, △ABCの外接円の半径をR とする.
△ABCにおいて正弦定理より
であるから
である.
+2sin a sin βcosacos β
a
b
= sina,
= sin β
2R
2R
C
= sin{180°-(a+β)} = sin(a+β)
2R
sina(1-cos2β) + sinβ(1 - cos² a)
2sin a sin βcosacosβ=0
2 sin² a sin² B
2sinasin βcosacosβ=0
であるから、条件より
sina + sin2β = sin(a+β)
() () ()
+
a²+b² = c²
sin a sin β(cosa cos β sin a sinβ)=0
sin a sin βcos (a+β) = 0
となるので, △ABC は ∠C=90°の直角三角形である. よっ
て
180°- (a +β)=90°
a+β=90°
②
ここで
である. よって
α > 0°,β>0°, a + β < 180°
①
より
0° <α < 180°, 0° <β <180°
であるから, sinα > 0, sinβ>0である. よって
sina + sinβ=sina+sin (90°-α)
= sina + cosa
=√2sin(a+45°)
cos(a+β)=0
である.また, ①,②より
α+β=90° ....... ②
B=90°-α
0° <α <90°
であるから
である. よって
45° <α + 45° <135°
sina + sinβ=sina+sin (90°-α )
である. よって
= sina + cosa
√2
== √2sin (a +45°)
である.また, ①,②より
.
<sin(a + 45°) ≦1
1 < √2sin (a + 45°) √2
1 <sina + sin β ≦√2
である.
0° <α <90°
であるから
45° <α+45° <135°
である. よって
1
< sin(a + 45°)≦1
√2
である.
1 < √2sin (a + 45°) ≦ √2
1 <sina + sinβ≦√2
【別解】
α > 0°,β>0°,a+β < 180° ･･････ ①
より, 内角が α β, 180° - (a+β) である △ABC を考えて
