Question

よーつう

画像の赤で印をつけている部分の変形がどうしてこうなったのかが分からないので教えてほしいです🙇🏻‍♀️
加法定理でどうやったらこうなるのか...

【5】
a,Bがa>0°,β>0°, a +β<180° かつ sin' a + sin'β = sin' (a +β) を満たすとき,
sina + sin β のとりうる値の範囲を求めよ.
加法定理を用いると
sin² a + sin² B
+ sin
?
= (sinacosβ+ cosasin β ) 2
= sinacos2β + cos?asin2 β
∠A= α, ∠B=β,∠C=180°-(a+β)
BC=a, CA=b, AB = c
として, △ABCの外接円の半径をR とする.
△ABCにおいて正弦定理より
であるから
である.
+2sin a sin βcosacos β
a
b
= sina,
= sin β
2R
2R
C
= sin{180°-(a+β)} = sin(a+β)
2R
sina(1-cos2β) + sinβ(1 - cos² a)
2sin a sin βcosacosβ=0
2 sin² a sin² B
2sinasin βcosacosβ=0
であるから、条件より
sina + sin2β = sin(a+β)
() () ()
+
a²+b² = c²
sin a sin β(cosa cos β sin a sinβ)=0
sin a sin βcos (a+β) = 0
となるので, △ABC は ∠C=90°の直角三角形である. よっ
て
180°- (a +β)=90°
a+β=90°
②
ここで
である. よって
α > 0°,β>0°, a + β < 180°
①
より
0° <α < 180°, 0° <β <180°
であるから, sinα > 0, sinβ>0である. よって
sina + sinβ=sina+sin (90°-α)
= sina + cosa
=√2sin(a+45°)
cos(a+β)=0
である.また, ①,②より
α+β=90° ....... ②
B=90°-α
0° <α <90°
であるから
である. よって
45° <α + 45° <135°
sina + sinβ=sina+sin (90°-α )
である. よって
= sina + cosa
√2
== √2sin (a +45°)
である.また, ①,②より
.
<sin(a + 45°) ≦1
1 < √2sin (a + 45°) √2
1 <sina + sin β ≦√2
である.
0° <α <90°
であるから
45° <α+45° <135°
である. よって
1
< sin(a + 45°)≦1
√2
である.
1 < √2sin (a + 45°) ≦ √2
1 <sina + sinβ≦√2
【別解】
α > 0°,β>0°,a+β < 180° ･･････ ①
より, 内角が α β, 180° - (a+β) である △ABC を考えて

三角関数 数学 数b 数c 高校生 高３ 高三

Answer 1

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よーつう

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