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基本例題 142 三角関数の最大 最小 (2) ･･･ 文字係数を含む
042-sino (10)の最大値をaの式で表せ。
y=2acos0+2-sin²0
指針 前ページの基本例題141 と同様に, 2次関数の最大最小問題に帰着させる。
y=x2+2ax+1
解答
CHART 三角関数の式の扱い
1 まず, cos の1種類の式で表し, cosxとおくと
変数のおき換え 変域が変わる に注意すると
2
0≤x≤1
したがって, 0≦x≦1における関数 y=x2+2ax+1の最大値を求める問題になる。
よって, 軸x=-α と区間 0≦x≦1の位置関係で,次のように場合を分ける。
軸が区間の [1] 中央より左側
[2] 中央と一致
[3] 中央より右側
y=2acos0+2-sin²0=2acos0+2-(1-cos20)
=cos20+2acos 0+1
COS0=xとおくと
y=x2+2ax+1
π BS1であるから 0≤x≤1
2
①
f(x)=x2+2ax+1とすると
f(x)=(x+a)^+1-α²
y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-α
また、区間 ① の中央の値は 1/2
[1].y=f(x)
f(0)=1, f(1)=2a+2
-a< すなわち -
a>1/1/2のとき
2
最大値は f(1)=2a+2
[2] -a=1/12 すなわち
-α=
最大値は f(0)=f(1)=1
1種類で表す
sin cos の変身自在に sin²0+cos²0=1
a=-
11/12 のとき
13 -4> 1/12 すなわちa</1/23 のとき
[3]
最大値は f(0)=1
よって
a> - 1/23 のとき2a+2,
as - 1/12 のとき1
am!
0 a 1
2
[2] `' y=f(x)
軸
0
1
軸
0
最大 最大
[3] \y=f(x)
最大
1
2
1
1 x
最大
1
1
00000
1 x
1-a1
2
基本 141
x
sin²0+ cos²0=1
cose だけで表す。
xx の変域に要注意!
①の範囲における
y=x2+2ax+1 の最大値
を求める。
<軸が, 区間 ① の中央より
左側。
軸が, 区間 ① の中央と一
致。
軸が, 区間 ① の中央より
右側。
答えでは, [2] と [3] をま
とめた
223
41
23
三角関数の応用
