【複素数平面】 青マーカー(ｷｸｹｺ)部分についてです。 2枚目の解説の青マーカー部分のなぜ2yiにならないのですか？iはどこに消えたんですか？

数学II, 数学 B 数学 C 〔2〕 複素数zがあり、実部が正、 虚部が負で |z|=1である。 (1) AC= 2,7 とする。 3 複素数平面上に図示すると, z を表す点A(z)として矛盾しないものは ウ である。 ケ 2= である。 ク コ 以下, 点A(z) は ウ であるとする。 サ 複素数平面上に図示すると, z-2を表す点B(z-2) は I 2 を表す また,BC= である。 シ 点C(z) は オ -/1/2を表す点D(-1/2)は カ である。 数学Ⅱ, 数学 B 数学 C 769 1-√3i (2) 22= とする。 ただし, 複素数の偏角をα とすると, αは, 0≦α <2 2 ウ については,最も適当なものを,次の⑩~⑨のうちから一 を満たすとする。 つずつ選べ。 ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。 なお, 複素数平面上に ス は,補助的に中心が原点で半径1の円を描いている。 1-3iの偏角は πであるから, zの実部が正, 虚部が負であるこ ④ ③ A e 0 1 x ⑧ ⑨ (数学Ⅱ, 数学B, 数学C第7問は次ページに続く。) -26- ソタ とに注意すると,zの偏角は πである。 チ ツ また、 △ACDの面積 △ABCの面積 である。 テ -27-

【複素数平面】 青マーカーの(ウ)が分からないです。 答えは⑤です。 zは⑦だとわかったのでzを実軸方向に-2だけ平行移動させたら良いのはわかるのですが図上でどうやって-2平行移動させたら⑤になるのですか？

数学Ⅱ 数学 B 数学 C 〔2〕 複素数zがあり,実部が正, 虚部が負で z =1である。 複素数平面上に図示すると, z を表す点A(z) として矛盾しないものは ウ である。 以下,点A(z) は ウ であるとする。 複素数平面上に図示すると, z-2を表す点B (z-2) は I を表す 点C(z)は オ 1/2を表す点D(-1/2)は である。 カ については,最も適当なものを,次の①~③のうちから一 つずつ選べ。 ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。 なお, 複素数平面上に は、補助的に中心が原点で半径1の円を描いている。 y 1 ④ ① 10 x (数学Ⅱ, 数学B, 数学C第7問は次ページに続く。)

複素数の問題です (1)の誘導があるので、(2-1)は解けるのですが、 (1)の誘導がない状態で、この問題が出てきた時は(1)のように考えて解くしかないのでしょうか 他の解法があったら教えて欲しいです

a- 原点を0とする複素数平面上に, 0 と異なる点A(a),および, 2点 0, A を通る直線がある . (1) 直線に関して点P(z) と対称な点をP'(z') とするとき, z==z が成り立つことを示せ (2) α=3+iとする. β=2+4i, y=-8+7i を表す点をそれぞれB, Cとおく. (2-1) 点Bの直線に関して対称な点をB' (B') とする. B' を求めよ. a (22) 線分 OA上の点Q (w)について, ∠AQB=∠CQO が成り立つときのwを求めよ. 原点を通る直線Iに関する折り返し 実軸に関する対称点はすぐに分かる (バーをつけるだけ。2z)ので,lが実軸に重なるように 0 を中心に回転さ せて考える.1 (z軸を回転したもの)に関して対称な位置にあるP(z), P'(z')については,0回転を表す複素数をw とすると, P, P' を -0 回転した (九工大工) ya P(z),l A, •P'(z) Q *Q (1/1). α (2/12) 00 w が実軸に関して対称であるから,ととらえる キ w w ことができる. 解答 () x (1)arga=0 とおくと, P, P' を0のまわりに0回転して得られる2点Q, 上図を参照. Q'は実軸に関して対称である. 恋した a=|al (coso+isin0) であるから, 0回転を表す複素数は, a (=w とおく ) |a| よって、ユーズ = z'=w. : w a- -2 ← w a a a ÷ = \a\ a w w W w 3+i (2) (2-1) (1)KI, B'=B= 3-i a (22) B'とBはに関して対称であるから, (2-4i)=4-2i w 10-10i 3-i (10-10i) (3+i) 10 =(1-i) (3+i)=4-2i C(Y) y ∠AQB' = ∠AQB=∠CQO α, B, y, B' の具体的な値から, 右図のようにな り 3点 B' QCは同一直線上にある. よって, w=(1-s)β'+sy (sは実数 ) w=(1-s) (4-2i)+s(-8+7i) =4-12s+(9s-2) i QはOA上にもあるから, w=tα=t(3+i)=3t+ti (tは実数) とおける.これらが等しいから, 4-12s=3t, 9s-2=t 10 s= t= 39 4 13 12 4 w=t(3+i)= . + -i 13 13 B(β) A(a) B'(B') Q(w) OQ= (1-s) OB'+sOC 4-12s=3(9s-2)

176(3)別解の線が引かれているところを教えてほしいです Z^kがx^7=1の解となるのはなぜですか？

176. <1の7乗根〉 2π z = COS 7 +isin 27 (iは虚数単位)とおく。 17 ①z+2+2+2+2+2 を求めよ。 (2)a=z+z2+ 24 とするとき, α+α, aa およびαを求めよ。 ただしはαの共役 複素数である。 () (1-2) (1-22) (1-2) (1-2) (1-2) (1-2) を求めよ。 [16 千葉大・理系] 必解 177. 〈方程式の解, w=f(z)の表す図形〉 iは虚数単位とする。 (1) 方程式 ^= -1 を解け (2) αを方程式 24=1 の解の1つとする。 複素数平面に点βがあって |z-Bl=√2|z-α| を満たす点z 全体が原点を中心とする円Cを描くとき, 複素 βをαで表せ。 (3)点z (2) 円C上を動くとき,点iとzを結ぶ線分の中点wはどのような図形 描くか。 • [15 鹿児島大 理

赤枠のところでなぜこれで実数であると言えるのですか？

[問題2] aßaßaß + aß = a ß + a ß B +αB =aβ+αp=ab+ap よって, aβ+αβ=aβ+αβであるから,α+αp は実数である。 別解 aβ=αであるから,α + α β は実数である。

最後のω=-1-2iはどうやって求めますか？？

省 *171. 複素数平面上で点ぁが |2|=√2 をみたしながら動くとき,w= 1で定まる z-i wについて,次の問いに答えよ. wが描く図形を求め図示せよ. 大 |w|の最大値およびそのときの複素数zの値を求めよ. (3) w-1の最大値およびそのときの複素数の値を求めよ. 22 (香川大改)

数学の質問です。 複素数平面に対して私達が普段良く使う平面は何と言うのでしょうか？点の座標を(a+bi)と表すのは複素数平面ですが、(a,b)と表す平面は何と言うのでしょうか？ 回答宜しくお願い致します。

【複素数平面】 赤い部分です。何を持ってこの式変形をしたかがわからないです。

基本 例題 81 複素数の絶対値と共役複素数 (1) 425 00000 |z|=1 かつ |z+il = √3 を満たす複素数zについて, 次の値を求めよ。 (1) スズ CHART & SOLUTION 複素数の絶対値 (1) zz=|2|2 え (3)p.41 基本事項 3|,4| ||||として扱う |a|=aa (2) (z+i)(z+i)=z+iの利用。 (1)(2)の結果から,zについての2次方程式を導き,解く。 別解 z=a+bi(a,bは実数)とおき,a,bの値を求める。 答 (1)zz=|z|2=12=1 (2)|z+il=√3から ...... + 2+1=3 よって (z+i)(z+i)=3. すなわち (z+i)(-i)=3 展開すると zz-iz+iz+1=3 zz=1 を代入して整理すると i(z-z)=-1 よってzz== =i 2 (3) z≠0 であるから, (1) の結果より 2= 12 これを (2) の結果に代入して 両辺にを掛けて整理すると 01 z-=i z2-iz-1=0 よって (2-1/2)-(+)- \2 -1=0 8 \2 == ゆえに12-27 すなわち 12 3 i √3 =± 2 √3 13 - したがって + z= 2 2 (別解 ←lz+i=(z+i) (z+i) ←z+i=z+i=z-i ←i=-1 ← | z|=1から z=0 |2|=1のとき, 2= =1 の関係はよく利 え 用される。 z=a+bi (a,bは実数) とおく。 z=a-bi であるから z-z=a+bi-(a-bi)=2bi (2) より zzi であるから b= b = 1/13 2 また, |z|=1であるから a2+62=1 b=1/2 を代入して a2=242 3 +√3 よって a=± 28- したがって √3 3 2 + -i, + 2 2 2 「α 6 は実数」の断りは 重要。 <=2bi=i |z²=a²+b² $8 JEJ 3

【複素数平面】 赤丸🔴の式変形がわからないです。 特に　i^2 はどうなってるんですか？？

24 基本例題 80 2点間の距離 000 3点A(5+4i),B(3-2i), C(1+2i) について,次の点を表す複素数を求めよ。 (1)2点 A,B から等距離にある虚軸上の点P (2)3点A, B, Cから等距離にある点 Q p.417 基本事項 4 CHART | SOLUTION 複素数平面上の2点A(a),B(β) 間の距離 AB=|ß-a| B-a=p+gi (p, q は実数) のとき \B-al=lp+gil=√2+q2 (1) 虚軸上の点をP(ki) (k は実数) とおき AP=BP AQ=BQ=CQ (2) Q(a+bi) (a, b は実数) とおき 解答 (1) P(ki)(k は実数) とすると AP2=|ki-(5+4i)|= (-5)+(k-4i =(-5)2+(k-4)2=k-8k+41 BP²=|ki—(3—2i)|²=|(−3)+(k+2)i|²¯¯ =(-3)2+(k+2)²=k+4k+13 AP=BP より AP2=BP2 であるから 「は実数」の断りは重要。 YA P A 0 x B idtp: k2-8k+41=k+4k+13 これを解いて k= したがって,点Pを表す複素数は 7 (2) Q(a+bi)(a, b は実数) とすると 1/32 AQ²=(a+bi)-(5+4i)|²=|(a−5)+(6-4)i|2 =(a-5)2+(6-4)2 10 BQ²=|(a+bi)-(3-2i)²=|(a-3)+(b+2)i|2 =(a-3)2+(6+2)2 CQ2=(a+bi)-(1+2i)=(a-1)+(6-2)i =(a-1)+(6-2)2 AQ=BQ より AQ'=BQ2 であるから (a−5)²+(b−4)²=(a−3)²+(b+2)² 整理すると a+36=7 ...... BQ=CQ より BQ2=CQ2 であるから (a-3)+(b+2)²=(a-1)+(b-2)^ ② 整理すると a-2b=2 ①,②を解くと a=4,6=1 したがって, 点Qを表す複素数 73 AP≧0, BP≧0 のとき AP=BP⇔AP2=BP2 ← a, b は実数」の断りは 重要。 YA A 0 B inf. AABC là Cbi の直角二等辺三角形で あるので求める点は辺

【複素数平面】 これって α＝kβでも良いんですか？ 例えばこの基本例題77だったらβとα逆にしたらダメですか？

基本 例題 77 原点0を含む3点が一直線上にある条件 00000 α=3+ (2x-1)i, β=x+2-i とする。 2点A (α), B(β) と原点Oが一直線 上にあるとき, 実数xの値を求めよ。 p.416,417 基本事項 21, 基本105 CHART & SOLUTION 3点が一直線上にある条件 y B=ka B(B) A(a) b 10 a ka 3点 0, α βが一直線上にある ⇔B=kα を満たす実数が存在する 複素数 α=α+ bi について, ka=ka+kbi であるから, α≠0 であるとき, 点kaは2点 0, αを通る直線上にある。 MOITUkb x AX