類題2
(1)連続した2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。
(2) 連続した3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。
(3) nが奇数のとき, n-n は 24 の倍数であることを証明せよ。
なお,(2) では (1) の性質, (3) は (1),(2)の性質を利用してよい。
以下,k は整数とする。
(1) 連続する2つの整数を n, n+1とし, A=n(n+1) とする。
[1] n=2kのとき
[2] n=2k+1のとき
A=2k(2k+1)
A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(k+1)
したがって,Aは2の倍数である。
(2) 連続する3つの整数をn-1, n, n+1とし, B=(n-1)n(n+1) とする。
(1) より, 連続する2整数の積は2の倍数であるから, Bは2の倍数である。
ゆえに,Bが3の倍数であることを示せば,Bは6の倍数であることが示される。
[1] n=3k のとき, Bは明らかに3の倍数である。
[2] n=3k+1のとき
[3]n=3k+2のとき
n-1=(3k+1)-1=3k
n+1=(3k+2)+1=3(k+1)
よって, n, n-1, n+1 のいずれかが3の倍数となるから, Bは3の倍数である。
したがって,Bは6の倍数である。
n-n=(n-1)n(n+1)=2k(2k+1)(2k+2)
(3)
n=2k+1 と表される。
が奇数のとき,
=4k(k+1)(2k+1)=4k(k+1){(k-1)+(k+2)}
......
・①
=4{(k-1)k(k+1) + k(k +1)(k+2)}
(2) より, k-1k(k+1), k(k+1)(k+2) はともに6の倍数であるから, a, b を整数と
すると, ① より
n3_n=4(6a+6b)=24(a+b)
よって, nが奇数のとき, n-nは24の倍数である。
