（2）の解き方が分かりません💦 解説お願いします🙏 答えは30通りです！

多面体の各面を,次のように塗り分けるとき, 塗り方の総数を求めよ。 なお、多面体を 転して各面の塗り方が一致すれば同じ塗り方とみなす。 (1) 正四角錐の5個の面を, 赤青黄白緑の5色で塗り分ける。 (2) 立方体の6個の面を, 赤青黄白緑黒の6色で塗り分ける。

(2)の解説でn+1/2{(2n+1)+1}というのはどこから来ましたか？？公式はわかるんですが数字がどっから来たのか分からないので教えて欲しいです!!

基礎問 206 第7章 数 列 133 格子点の個数 3つの不等式x0,y≧02x+y=2n (nは自然数)で表さ れる領域をDとする. (1)Dに含まれ,直線 z=k (k=0, 1,..,n) 上にある格子点 (x座標もy座標も整数の点)の個数をんで表せ. (2) Dに含まれる格子点の総数をnで表せ. (別解) 直線 y=2k (k=0, 1, ..., n) 上の 格子点は (0,2k), (1,2k), ... (n-k2k の (n-k+1) 個. また,直線 y=2k-1 (k=1, 2,...,n) 上の 格子点は (0, 2k-1), (1, 2k-1), …, (n-k, 2k-1) の (n+1) 個. よって, 格子点の総数は y 2n 207 y=2k 精講 計算の応用例として, 格子点の個数を求める問題があります。こ れは様々なレベルの大学で入試問題として出題されています。 格子点の含まれている領域が具体的に表されていれば図をかいて数 え上げることもできますが,このように, nが入ってくると数える手段を知ら ないと解答できません. その手段とは,ポイントに書いてある考え方です。 ポイントによれば, 直線 y=k でもできそうに書いてありますが、こちらを 使った解答は (別解) で確認してください. k=1 (n-k+1)+(n-k+1) い k=0 k=1 y-2k-1 2-(n-k+1)+(n+1) n 0 '\n-k++ x =n(n+1)+(n+1) =(n+1)(n+1) 12群 =(n+1)2 第 注 y=2k とy=2k-1 に分ける理由は直線 y=k と2x+y=2n の交点を求めると,(カー1k)となり,n-1がkの偶奇によって 20 整数になる場合と整数にならない場合があるからです。 解答 (1) 直線 =k上にある格子点は 例)(24)だった場合 (k, 0), (k, 1),, (k, 2n-2k) 1 8 3 5 0 0 Wy For 2n x=k 24-2 ポイントある領域内の格子点の総数を求めるとき の (2n-2k+1 個. 2n-2k 注 座標だけを見ていくと, 個数がわかります. I. 直線 x=k (または, y=k) 上の格子点の個数を kで表す (2)(1)の結果に,k=0, 1, n を代入して すべ 0 Ⅱ.Iの結果について計算をする て加えたものが、Dに含まれる格子点の総数. y=-2x+7h = (2n-2k+1) =24721 第7章 ◆ 等差数列 2 +1{(2n+1)+1} 等差数列の和の公式 = (n+1)2 演習問題 133 注 Σ計算をする式がkの1次式のとき, その式は等差数列の和を表 k=0 k=0 ろん、Σ(2n+1)-22k として計算してもかまいません。 しているので,212 (atan) (12) を使って計算していますが,もち 放物線y=x2 ① と直線y=n² (nは自然数 ...... ② がある. ①と② で囲まれた部分 (境界も含む)をM とする. このと 次の問いに答えよ. (1) 直線 z=k (k=1, 2,...,n) 上のM内の格子点の個数をn, んで表せ. (2) M内の格子点の総数をnで表せ.

(3)の解説がいまいちわかりません… 教えて欲しいです!

208 第7章 数 列 基礎問 134 漸化式の応用 すべて交わる→交点がの個増える 平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3 本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面がαn 個 の部分に分けられるとする. 209 (3)(2)で考えたように,(n+1)本目の直線はそれ以前に引いてある直 線とか所で交わり、その交点によって, (n+1)本目の直線は、2つ 半直線と (n-1) 個の線分に分割されている(下図)。 ① ② ③ n+1 (n+1) 本目の直線 (1) 1, 2, as を求めよ. (2) 本の直線が引いてあり、あらたに (n+1) 本目の直線を引 いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか. 1本目 2本目3本目 (3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ. (4) an を求めよ. 精講 まず、設問の意味を正しくとらえないといけません. nが含まれて いるとわかりにくいので, nに具体的な数字を代入してイメージを つかむことが大切で, これが(1)です. (3)が最大のテーマです. 「αn+」 を α で表せ」 という要求のときに, 41, 42, α などから様子を探るのも1つの手ですが, それは137 以降 (数学的帰納法) に まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか を学習します. an と n+1 の違いは直線の本数が1本増えることです. 本目 この(n+1) 個の半直線と線分の1つによって、いままで1つであ った平面が2つに分割される. よって, (n+1)本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える ことになる. .. an+1=an+n+1 (n≧1) 階差数列 (123) (4) n≧2 のとき, n-1 ana+(k+1)=2+(2+3+...+n) k=1 =(1+2+…+n)+1=1/12n(n+1)+1=1/2(n+n+2) これは, n=1のときも含む. ①+② autitl Cuti C₁ = Cula より Cu but, はネ 数は、 吟味を忘れずに 丁目 直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが, 問題 はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります. ポイント 漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として, (n+1) 番目の状態を考え、 その変化を追う 解答 (1) (a₁) (a2) (a3) くり返し動作したときの番目anの求めかた. →①番目のを求める ① ① ②nauと(ntl)番目antの関係を求める. (6) ② ⑤ 27 演習問題 134 ③ (4) 右図のように円 01, 2, ･･･ は互いに接し, かつ点Cで交わる半 直線に内接している. このとき,次の問いに答えよ. 図より, a2=4 図より, 43=7 (1) 円 0 の半径が5, CA」 の長さが12で 12 図より, a1=2 (2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら ないので, (n+1)本目の直線は, それ以前に引いてあるn本の直線の すべてと1回ずつ交わっている。 よって, nか所で交わる. あるとき、円の半径r を求めよ. (2)番目の0 の半径を とすると き,n 101 02 (3) n+1の関係式を求めよ. を求めよ. ・11 A2 A1 第7章 は れる数

この問題の(1)でなぜ体積は3倍にならないんですか？

AYA 45 [気体の溶解度] 水素は25℃ 1.0 × 105 Pa で, 水1Lに19.7mL溶ける。 ↓ check! 次の問いに答えよ。 (1) 温度を変えず, 圧力を3倍にすると,その条件下で水1Lに何mLの水 素が溶けるか。 (2)(1) で溶解した水素は標準状態に換算すると, 何mLか。 (3) (1) で溶解した水素は何gか。 有効数字2桁で求めよ。

解答の右のページの1番上に変えてあるanはどうやってこうなるんですか？

基礎問 WINDOW 128 和と一般項 数列{an} の初項から第n項までの和 Sn が で表されている. Sn=-6+2n-an (n≧1) (1) 初項 α1 を求めよ. (2) am と an+1 のみたす関係式を求めよ. (3) an をnで表せ 数列{an} があって 精講 an= ? n = 1 ½ an-1+1 (n≥2) よって, an+1= =an+1 (n≧1) 食 197 PROMOSI (別解) ①より, Sn+1=-6+2(n+1)-an+1 ...... ② ②① より, +1 Sn=2-an+1+an .. an+1=2-an++an 1 : an+1=an+1 2=1/12 (42) a = 1/24+1の解 =1/12an+1よりan+1-2= (3) an+1= また, a2= -4 だから 1\n-1 第7章 a+a2+…+an=Sn とおいたとき, an と Sn がまざった漸化式がでてくることがありま す。 このときには次の2つの方針があります。 I.an の漸化式にして, annで表す Ⅱ. S の漸化式にして, Sn を nで表し, an をnで表す このとき,III どちらの場合でも次の公式が使われます。 n≧2 のとき, an=SnSn-1, a1=S1 (n=1のときが別扱いになっている点に注意) 解答 Sn=-6+2n-an (n ≧1) ...... ① (1) ① に n=1 を代入して, Sanまでの 1和だから supaほどの和 ということだが S=-6+2-a _a=S, だから, a=-6+2-a1, 2a=-4 m 珍しい a₁=-2 (2) n≧2 のとき, ①より, Sn-1=-6+2(n-1)-αn-1 :.Sn-1=2n-8-α ...... ② ①-②より, Sn-Sn-1=2-an+an-1 :.an=2-an+an-1 an-2-(-4)() | 4 an-2-2-1 2-12- α=2を利用し an+1-α=- 1 2-3 と変形 ●ポイント(すなわち,和) のからんだ漸化式から記号を消 したいとき,番号をずらしてひけばよい 注 ポイントに書いてあることは,に書いてある公式を日本語で表した ものです.このような表現にしたのは、 実際の入試問題はの公式の形 で出題されないことがあるからです。 (演習問題 128 (2)) 士)の子 演習問題 128 Sn-Sn--an (74) 53-52=03 (1) 数列{a} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす. S1=1, Sn+1-3S=n+1 (n≧1) (i) S を求めよ. (ii) a を求めよ. (2) a1=1,2kan=nan(n≧1) をみたす数列{az} について,次 の問いに答えよ. (i) anan-1 (n≥2) T. (ii) a を求めよ.

解答の3行目と4行目の式変形がなんでこうなるのか教えて欲しいです!!

121 記号を用いた和の計算(Ⅳ) 一般項が an=n2"-1 (n=1, 2, 3, ...) と表される数列{am | について S=a1+a2+..+an とおく. このとき, S-2Sを計算 することによってSを求めよ. 精講 一般項が,(nの1次式) xyn+c (r≠1) という形をしている数列の 和の求め方は2つあります。 I. S-rs を計算すると, 等比数列の和になって, Sを求めることができる rは,r"+c が等比数列で,その公比になります。 Ⅱ. 120 の f(k)-f(k+1) (f(k+1)-f(k) でもよい) の形に変形する 解答でIを,(別解) で II を学びましょう. 解答 S=1・1+2・2'+3・22+･･･ +n・2"-1 2S= 1・2'+2・22+…+(n-1)2"-1+n・2 . S-2S=1+2+2+ … +2-1-n・2" :.S=n.2"-(1+2+2+... +2-1) 2"-1 =n.2n- 2-1 =(n-1)2"+1 (別解) f(k)=(ak+b)2 とおくと, f(k-1)=(ak+6-α)2k-1 f(k)-f(k-1)=(ak+b)2-(ak+b-a2k-1 ={2(ak+b)-(ak+b-a)}2k-1 =(ak+6+α)2k-1 これが,k2k-1と一致するようなa,bは a=1, b+a=0 をみたすので, a=1,6=-1 よって,f(k)=(k-1)と定めると k.2k-1=f(k)-f(k-1)

(1)の解説でn-1群とあるのはなぜですか？？ あと(1+2+…+2^n-2)項目となるのはなぜですか??

基礎問 202 第7章 131 群数列 (I) 1から順に並べた自然数を, 1|2, 34, 5, 6, 7|8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15|16, のように,第n群 (n=1, 2, ...) 2-1 個の数を含むように分け る. (1) 第n群の最初の数をnで表せ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3) 3000 は第何群の何番目にあるか. い ある規則のある数列に区切りを入れてカタマリを作ってできる群数 |精講 列を考えるときは, .7e1 「もとの数列で、はじめから数えて第何項目か?」 と考えます。このとき,第n群に入っている項の数を用意し,各群の最後の数 に着目します. 解 答 (1) 第 (n-1) 群の最後の数は、はじめから数えて各群の最後の数が基 (1+2+…+2"-2) 項目初項り、公比2.項数n-1 すなわち, (2"-1-1) 項目だからその数字は 準 <等比数列の和の公式 を用いて計算する 第 (n-1) 群 203 (1)より,2"-130002" 第n群 (1) SET 第 (n+1) 群 3000, 1 2-1-1- 2"-1 2-1 2" ここで,2"=2048, 2124096 だから 2" <3000<212 .. n=12 よって, 第12群に含まれている. このとき,第11群の最後の数は, 2"-1=2047 だから, (1) ( 30002047953より, 3000は第12群の953番目にある. 注1.第12群に含まれているとき,第12群の最初の数に着目すると 3000-20481と計算しないといけません。逆に, ひき算をすると答 がちがってしまいます。 注2.(3) 2行目の 2"-13000<2"は2"-13000≦2"-1 でも, 2"-1-1<3000≦2"-1 でもよいのですが, (1) を利用すれば解答の形に なるでしょう。 注3 (1),(2)はnに具体的な数字を入れることによって検算が可能です。 ポイントもとの数列に規則のある群数列は, Ⅰ. 第群に含まれる頃の数を用意し Ⅱ. 各群の最後の数に着目し Ⅲ. はじめから数えて何項目か と考える 第7章 2-1-1 よって, 第n群の最初の数は (2"-1-1)+1=2"-1 (2)(1)より,第n群に含まれる数は 初項 2"-1, 公差 1 項数 27-1 の等差数列. よって, 求める総和は 1/21・2"-1{2・2"-'+ (2"-1-1)・1} =2"-2(2.2"-1+2"-1-1)=2"-2(3・2"-1-1) 1 (別解)2行目は初項2"-1 末項2"-1 項数 27-1 の等差数列と考えて もよい。 (3)3000は第n群に含まれているとすると 演習問題 131 1から順に並べた自然数を 1|2, 34, 5, 6| 7, 8, 9, 10 | 11, 12, 13, 14, 15 | 16, のように,第n群にn個の数を含むように分ける. (1) 第n群の最初の数を求めよ. (2)第n群に含まれる数の総和を求めよ. (3)100 は第何群の何番目にあるか.

解答の線が引いてあるところがなんでこうなるのか分からないので教えて欲しいです!!

176 第7章 数 列 基礎問 113 等差数列 (目) 等差数列{an} が a1+a2+α3=3, a3+a4+α5=33 をみたして いる. (1) 初項 α」 と公差d を求めよ. (2)第10項から第19項までの和を求めよ. J Sn=&taxnの右辺の aitan 2 2 精講 はα とαの平均を表してい 1 ますが,これは α 〜an の平均と同じです。普通,平均を求めるに は総和を先に求めますが,等差数列の場合は逆に平均から総和を求めることが できます.特に,項が奇数個のときは総和=(中央の項)×(項数)で計算でき ます.(演習問題 113 ) 解 答 (1) 2は α ~a, a4 は α3 ~αs の平均にそれぞれ等しいから a2=3÷3=1, α4=33÷3=11 ao+α+……………+a19 よって, d=(a-a2)÷2=5, a1=a2-d=-4 10 + (2) a1+au+..+a18+a19= a10a19x10 a10+a19 10 =5(α10+ a19) J より ここで,(1)より,an=-4+5(n-1) =5n-9 だから, a10=41, 1986 .. ①は5×(41+86)=635 ポイント | 等差数列の和=(平均)×(数) 演習問題 113 初項から第5項までの和が125, 初項から第9項までの和が504 である等差数列について (1) 初項と公差を求めよ. (2)第10項から第20項までの和を求めよ 演習

解答がよく分からないので教えて欲しいです!!

基礎問 104 定積分で表された関数 (II) 等式 f(x)=x+rff(t) をみたす関数 f(x) を求めよ。 精講 103 と同じではありません. 積分の上端, 下端がともに定数です だから,f(t)の不定積分のt に 0と1を代入することになるので 計算結果は定数です. よって,ff(t) dt=a (a:定数) とおけば、「記号が視界から消えて扱い やすくなります。 S'f(t) dt=a (a:定数) とおくと .. f(x)=x2+ax 解答 | 区間の両端が定数の 積分は定数となる 小 |おいた式にもう一度 戻すところがコツ a=ff(t)dt =f(tat)dt=1/3+/1/24 よって, a= 3 f(x)=x2+2/2 33 x ポイント f(t) f(t)は定数 (a,bは定数) 201 演習問題 104 等式 f(x)=2x2+xf(t) dt-5 をみたす関数 f(x) を求めよ.

この解答の4行目と6行目がなんでこうなるか教えて欲しいです!!

効率 ■入 取 行 行 実 104 第4章 基礎問 63 三角方程式 B≦r とするとき cos(-a)= COS たとえば,右図の位置に動径があるとき,角度の 呼び方は,与えられた範囲によって変わります。 もし、O2ならばだし,-0 YA 1 0 -α = sinα を用いて, sina = cos 2β ...... ① をみたす ならばになります。この問題では 0< α 2 となっているので2B=αと をαで表せ. 精講 この問題は数学I の範囲でも解けますが, 弧度法の利用になり とも含めて, 数学Ⅱの問題として勉強します。 この方程式は三角方程式の中では一番難しいタイプで、 種類 ■に と! ま ることです。そのための道具が cos (sin, cos) も角度 (α β) も異なります. このタイプは,まず種類を π 2 -α = sinα で, これで cosにあ きます.そのあとは2つの考え方があります。 2π- 105 --α)になります。αをと考えてみたらわかるはずです。 (別解) cos2β=cos 和積の公式より, s(-a)より,cos2B-cos (a) =0 157 参照 2sin (+4) sin (B-+号)-0 ∴.sit sin (8+) =0または,sin(B-4+1)=0 a 24' S a 25 0<ẞ+---+<* 4 2 4' B+1=B-4+1/2-0 解答 cos(a)=sina -α = sina より ① は, sind=cos(1-0) .. sind = cos2β YA 1 よって、B=3+10/2 4 2'4 2 π a ここで, cos 28= cos(-a) DBETJ2 20 2 -1 0 注 どちらの解答がよいかという勉強ではなく, どちらともできるよ うにしておきましょう。 特に、 数学Ⅲが必要な人は,和積の公式を頻 繁に使うことになるので,その意味でも (別解) は必要です。 -1 ポイント 種類も角度も異なる三角方程式は 1 注参照 まず, 種類を統一する 右の単位円より, 注 2 --α, 3π +α Em 2 α 3π α 4 2 + 4 2 と表現してはいけません。 それは 0220 -(-a) からです。(1-0)+2= 2+α 3π 現です. +αがこの範囲においては正しい 演習問題 63 (x)-2 ≦o 第4章 Sun, OSBSとするとき, sina=cos2β をみたす Bを αで表せ.