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197問
47 軌跡(V)
の
mを実数とする.xy平面上の2直線
mx-y=0......①,
について,次の問いに答えよ.
(1) ①, ② は m の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る、
A,Bの座標を求めよ.
(2) ①,②は直交することを示せ .
(3) ① ② の交点の軌跡を求めよ.
x+my-2m-2=0
精講
(1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので, 「m
について整理」して, 恒等式です。
(2) 36 で勉強しました. ② が 「y=」 の形にできません。
(3) ① ② の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか
なり大変です.したがって, (1), (2)をうまく利用することになりますが、
Ⅲを忘れてはいけません.
解答
(1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0
.. A(0, 0)
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
.. B(2, 2)
(2) m・1+(-1)・m=0 だから,
①,②は直交する.
(3) (1), (2) ① ② の交点をPとすると ①② YA
より,∠APB=90°
2
よって、円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で (1, 1)
0 ......②
<mについて整理
136
0
AI
また,AB=2√2 より半径√
よって, (x-1)^2+(y-1)^=2
ここで, ①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する|
ことはないので,点(0, 2) は含まれない.
よって, 求める軌跡は
1-8A
円 (x-1)2+(y-1)^2=2 から,点 (0, 2) を除いたもの.
注 一般に,y=mx+n 型直線は, y 軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,yが必ず残って, z=kの形にでき
ないからです. 逆に,の頭には文字がついているので, m=0 を
代入すれば,y=n という形にでき, x軸に平行な直線を表すことが
できます.
参考
45 の要領で ①, ② の交点を求めてみると
2m(1+m)
2(1+m)
1+m², y= 1+m²
x=
となり, まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです. しかし, 誘導がなければ次のような解答ができます.
x=0のとき, ①より m=y
Y/A
IC
21
②に代入して, x+
ポイント
演習問題 47
77
y22y -2=0
IC
IC
:.x2+y²-2y-2x=0
次に, x=0のとき, ①より, y = 0
これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので,
点 (0, 0) は適する.
以上のことより, ①,②の交点の軌跡は円 (x-1)+(y-1)' =2 から点
(0, 2) を除いたもの.
(x-1)²+(y-1)²=2
定点を通る2直線が直交しているとき, その交点は、
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する
T
tを実数とする. xy平面上の2直線l:tx-y=t,
m:x+ty=2t+1 について 次の問いに答えよ.
(1) t の値にかかわらず, l, mはそれぞれ, 定点A,Bを通る.
A, B の座標を求めよ.
(2) 1, m の交点Pの軌跡を求めよ.
