考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので,無理数であることを
(2)/3 が無理数であることを用いて,4-V3 は無理数であることを
2つの自然数mとnが1以外に公約数をもたないとき, mとnは互いに素という。
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背理法(1)
160
例題
(お茶の水女子大
次の問いに答えよ。
(1)/3 は無理数であることを証明せよ。
証明せよ。
考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので
否定すると有理数になる。
(p.419 参照)
結論の否定を仮定
「無理数でない」は
「有理数である」
解答(1)/3 が有理数であると仮定すると,
V3=4(かとqは互いに素な自然数)
p
とおける。両辺を2乗して分母を払うと,
+3が=q° ①
9は既約分類
p
…D
+5
3がは3の倍数だから, q°も 3の倍数である。
したがって, qも3の倍数となり,q=3r(rは自然
数)とおける。
のに代入して、
これから,が=3r?
3rは3の倍数だから, がは3の倍数 つまり,
pも3の倍数となる。
したがって, p, qがともに3の倍数となり,かとq
が互いに素な自然数であることに矛盾する.
よって,/3 は無理数である。
い)
「が3の倍数なら。
qも3の倍数」
(例題159参照)
3が=9r?
ともに3の倍数の場
本3が公約数となる。
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