の向きが変わるので, t>0, t<0 で場合分けをする要領で解く。
を掛けてtの2次不等式の問題に帰着できる。ただし, tの符号によって不等号
logex=t(tは任意の実数, ただし tキ0) とおくと, tー-21 となり,両辺にt
0100000
244
【上智大)
基本例題 161 対数不等式の解法 (2)
基本160
不等式 logax-6log+221 を解け。
050
3ot
CHARTOSOLUTION
対数不等式
おき換え [logax=t] でtの不等式へ
OrnTO
真数の条件,底aと1の大小関係に注意
6
-M1 ← 底の変換公式
log2x-
log2x
底を2にそろえると
t
解答
x>0 かつ xキ1
対数の真数,底の条件から
11
ES
*底を2にそろえる。
xキ1 から log2xキ0
また
log:2=
1og2x
6
-21
x
よって,不等式は
log2x-
1og2x
*a>1 のとき, x>1 では
『] log2x>0 すなわち x>1 のとき
のの両辺に1og2xを掛けて
(log2x)-621og2x
logax>0
*ピーt-6
(1og2x)?-10og2x-620
(1log2x+2)(1og2x-3)20
よって
=(t+2)(t-3)
ゆえに
log2x+2>0 であるから 1og2x-320 すなわち log2x23
log2x>0 から。
底2は1より大きいから x28
これは x>1 を満たす。
『[2] log2x<0 すなわち 0<x<1 のとき
のの両辺に 1og2xを掛けて
log2x2log28
*a>1 のとき,
(log2x)°-6<log2X
0<x<1 ではlogax<0
(1og2x)?-10og2x-6%0
(1og2x+2)(log2.x-3)<0
log2x-3<0 であるから log2x+220 すなわち log2x>-2
よって
ゆえに
log2x<0 から。
よって
-2<log2x<0
1
- 1og2S1ogax<logil
く
底2は1より大きいから
Sx<1
これは 0<x<1 を満たす。
[1, [2] から S<1, 85x
aC Te0
