>1(n-1) (n22) が示されるから, limnx"=ア である。したがって、
0<x<1 に対して、上=1+h とおくと, h>0 である。二項定理を用いて,
OOO0
重要例題 1O7 無限級数 nr"
次の(1), (2)が成り立つことを示せ。
170
EXEF
(類工学院大
(2) 2=2
カ=127
A 86
n
(1) lim=0
重要 93, 数学B基本%
カ→o 27
CHARTOSOLUTION
(1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用
二頂定理を用いて、, をはさみうちにする(重要例題 93を参照)。
87
88
S-TSの利用
(2) 無限級数Enr"
まず部分和 S,を求め, n→8 の極限をとる。
-()
1
は, Sn-- Sn を作って求める。
部分和 Sn=
2(2
8
k=1
k=1
解答
(1) n23 のとき, 二項定理により
n(n-1)
n(n-1)
2
合Co·1"+,C·1"-1.1
2
0<く。
2
よって
>,C2·1"-2.12
2"
n-1
2
ここで, lim
n→ n-1
-=0 であるから
lim
n
=0
合はさみうちの原理
2→o 27
1
2
3
n
とすると
27
Sn=
2
22
2°
1
2
n-1
n
22「 29
27
27+1
aよって 5-5--3
Sm
1
1
Sカ=
2
n
2°
23
2"
の部分は,初項う
27+1
1?
ゆえにS-
2
公比,項数nの等出
n
2
2カ+T-1-
27
n
1-
2
27+1
数列の和。
したがって
n
= lim S=lim(2
B
1
n
=2
カ=127
27-1
→ (1)の結果を利用。
PRACTICE… 1074
x
2
S=1+2x+
ト
