(x)=(x+ 4 ・・・ ① とおく。
f(x) を定数関数とすると, f (0) = 0 より f(x) =0
このとき、f'(x) = 0 となり, これは ① を満たさない。
よって,f(x)をn次式 (nは自然数) とし, x”の係数
a (a ≠0) とする。
このとき
h-1
(x+1)f'(x) は次式であり, x” の係数は an
2f(x)+4はn次式であり,x” の係数は 2α
よって, ① より an = 2a
a = 0 であるから n = 2
ゆえに、f(x) は2次式である。
f(x) = ax2+bx+c とすると f'(x) = 2ax+6
① にそれぞれ代入すると
(x + 1) (2ax+b)=2(ax2+bx + c) +4
整理すると (2a-b)x+(b-2c-4)=0
これがxについての恒等式であるから
f2a-b=0
16-2c-40
②
(3
また,f(0) = 0 より
c=0
(4)
② ~ ④ より
a = 2,6=4,c = 0
したがって
f(x) = 2x2+4.