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4 データ ③ 周期 Tとその求め方
周期Tとは,単振動に対応する円運動が1周回るのにかかる時間
のことだ。円運動の角速度w (1秒あたりの回転角)は,この周期を用いて,
さて、②式と④式に共通して入っているものは何かな?
えーと、 ②式と④式には共通のA sin wtが入っています。
w (rad/s)
2 [rad] 回転する
=
T [s]間で
かくしんどうすう
と書けるね。 このωのことを単振動では角振動数という。
逆にこの式より、 周期Tは, 角振動数 w を使って,
2π
そうだ。ここから式変形が続くけど,一つひとつ丁寧に追ってね。
②式を,
T= W
と書くことができるね。
さて、図6のように, 半径Aで角速
度ωの円運動を真横から見た単振動を
考えよう。 円運動が点Pを通過した瞬
間を時刻 t = 0 とする。 このとき対応
する単振動の (中) の位置 P′の座標を
x=xとしよう。時刻で円運動は点
Q を通過するが,このときまでの回転
角はwfとなっている。このときの単
振動の位置Q′の座標は,図6より,
Asinwt=x-xo
として,これを④式に代入すると,
a=ls'(x-x) …... ⑤
となるね。 この⑤式は、時刻によらず, いつでも成り立つ式だね。
ここで、この式の両辺に質量m を掛けてみると,
ma= -mω^(x-x)...... ⑥
さらに、この⑥式の右辺の係数を mw²= (定数K)
ma = -K(x - x)…
••••••⑦ とおくと,
wt:
LAW
となるね。 この⑧式は何を表しているかな?
wt
[00]
=x+Asinwt...... ②
▼Asin w x
PQ間の距離
図6
となっているね。
また、このときの単振動の速度と, 加速度αは, 円運動の接線
方向の速度 Awと,向心加速度 Aω' をそれぞれ真横から見たものと
して、図6より,
w= K
mm
左辺が ma･･あ! 運動方程式です!
そのとおり。 この式はまさに単振動の運動方程式となっているね。
どうやって,この式から周期Tを求めるんですか?
まず, 物体が座標 x (0) にあるときに運動方程式を立てて⑧式の形に
もっていくと,とKが出るでしょ。 このとき, ⑦式から, 角振動数
⑨ が求まる。 wが求まれば、 ①式より,
T=
=2=2
m
Aw coswt... ③
a= ==Aw'sin wt ④
右向き正より
ここまでの話は長かったけど.
物理では公式を導く過程が大切
だから、一つひとつ確認してね
⑨ より
となっているね。 ここまで, じっくりと図6とニラメッコして もう
となって,単振動の周期 Tが求まるんだ。
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第17章 221
