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関連発展問題
と和の極限、不等式
415
習例題250 定積分の漸化式と極限
国大,(3) 同志社大)
然数 n に対して,
を求めよ。
an=
tan?" x dx とする。
(2) an+1 をanで表せ。
(3) limanを求めよ。
a
→244
【北海道大)
> (2) an+1 の積分に an が現れるようにする。 それには, tan'm+2 x%=tan""x tan?x, および
重要 236, 基本 248
ー (2n-1)}
(1)同様,相互関係 tan'x=
1
-1に着目。
cos°x
芝浦工大)
求めにくい極限 はさみうちの原理 を利用の方針で。
→245
くいのとき, 0Stanx<1 であるから 0<tan?n+2xStan?ny
-., nをとる。
なるようにとる。
7章
の
0を利用して,まず anと an+1 の大小関係を導く。 (2)の結果も利用。
37
めよ。[東京大)
答
→247
1
ー1
tan?xdx=
= tan x-x
=1--
4
dx
=tanx+C
I cos'x
tan?n+2
x dx=
Jo
tan?"x tan?x dx= tan'n
An+1
1-50
1
[広島大]
→248
tan"x*
dx-
2
tan?"x dx
COs*x
1
2n+1
4f(■)■の積分。
-tan?
2n+1
x
ーan=ーan+
Jo
2n+1
1
--logn>
1
2
|SxS-のとき 0<tanx<1
よって 0Stan?"+2xStan°"x
n
東北大] →249
ゆえに
tan?n x dx
p.406 基本事項22.
0S
tan?n+2
xdxs
0
ゆえに,(2)の結果から
1
0SanS
よって
0San+1San
1
an+120に(2)の結果を代
→248
-ant
NO
よって
2n+1
2n+1
入。
はさみうちの原理。
ここで、lim
nー 2n+1
=0であるから
lim an=0
2→0
自然数nに対して, ム-Sなとする。
自然数nに対して, I,=\x
50)
*1
で表す。
1+
ムを求めよ。また, I,+In+1 をnで表せ。
(2) 不等式
AS
1
が成り立つことを示せ。
式を証明。
【類琉球大)
n+1
-=log2 が成り立つことを示せ。
k
ご理を利用。
lim(-1)-1
1→o k=1
A国限発展問題
