多項式の割り算の(ア)を解いてみて、 手書きの解答でいうところの ③を使って解くと剰余の定理を使ってもあまりが出ません。 しかし④を使うと値が出ます。 私は計算し終わるまで気づけませんでしたが、 どこで気づいて④を使う解き方をすると判断すればよかったんでしょうか？

6 多項式の割り算/2つの余りの条件 (ア) 整式f(x)は1で割ると余りが3である。また,f(x)を 4+5である。このとき,f(x)をュー1で割ったときの余りを求めよ (イ) 整式(x)を4x+3で割ったときの余りは+1であり、 +1で割ると余りが (関西大 総合情報) 3+2で割ったときの余 りは3-1である。「f(x)を6ェ”+11エー6で割ったときの余りを求めよ。 2つ目の条件の反映させ方 (秋田大 医) (ア)のように、2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合 わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割 る式の次数の高い方: いまは+x+1) の商をA(x) とおくと, f(x)=(x+1)A (g) +4x+5... と表せる。いま、f(x)を1=(x-1)(x+x+1)で 割った余りを求めたい。そこで,-1が現れるように,A(x)をェー1で割ることを考える.A(ェ)を ェー1で割った商をB(x), 余りをrとして,A(z)=(x-1)(x)+rとおきに代入する。この式 に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる。 解答 (ア) f(x) = (x²+x+1)A(x)+4x+5 スートを開けん (3)f()=(x-1)Q(+3 (1)Q(+12+ A):151-1)Q3(2)+C ←前文参照。 ↓ A(x)=(x-1)B(x) +r と表せるから,f(x)=(x'+x+1){(x-1)B(x)+r}+4r+5 =(-1)(x)+r(エ2+x+1)+4x+5 ･･① f(x) をェ-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により,f(1) 3 ①に=1 を代入して,f(1)=3+9 .. 3ヶ+9=3 :.r=-2 したがって, ① により, 求める余りは, Q)=(Amith Q2(2)=(2-1)B(42 f(x) をx-1で割った余りは2 次以下になるが, ①により. f(x) をー1で割った余りが (x'+x+1)+4 +5であるこ とが分かる. あとはを求めれ ばよい。 -2(x2+x+1)+4+5=-2x'+2x+3 (イ)-4x+3=(x-1)(x-3), 2-3x+2=(x-1)(x-2), x³-6x²+11x-6-(x-1) (r2-5x+6)=(x-1)(x-2) (x-3) であることに注意する. f(x) を4x+3で割った余りが+1である。商を A(x) とおくと,f(x)=(-1)(x-3)A(エ)+1 ここで,A(z)=(x-2)B(エ)+rと表せ,これを①に代入して f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1 一方, f(x) を2-3+2で割った余りが3x-1であるから, f(x) = (x-1)(x-2) Q (エ)+3r-1 と表せる。式に2を代入して,f(2)=5.②にx=2を代入して, ..-r+3=5 f(2) =-r+3 ..r=-2 ②から,f(x)=(x-1)(2)(3)B (ェ)-2(-1)(x-3)+1 wwwwwwwwwwwwwwwwwww したがって、求める余りは, =-2x2+9x-5 06 演習題(解答は p.26) -6211-6にェ=1を代入 すると0になるから, 因数定理に よりェー1で割り切れる (次章の 4 を参照). A (x) をェー2で割った商が B(x), 余りが (1次式で割った から,余りは定数). rを求めるには,②でB(ェ) が消 えてが残るェ=2に着目。 (1)f(x)=(2-3)Q(13 f=(2-2)(1)(2)+320-1 f=(23622-112-6)Q)(2) (1)(2)(3) Q1(2)(x-2) Ath Q2(x)=(7-3)B()+12 (ア) 整式P(x) を (エー)”で割ると1余り、エー2で割ると2余る。このとき,P(エ) (1)(2)で割ったときの余りR(x) を求めなさい。 (兵庫県立大・社会情報-中) (イ)整式Aを2で割ると余りが+3+1でありー4で割ると余りが +1である。このときを ++4で割ると余りはである。 (イ)の前半は, 03 の演 +2で割ると余りはであり,Aを (南山大 数理情報 ) 題(イ)と同様である。 13

解き方教えてください

17x-2<0 のとき, √x²-4x+4 を xの整式で表せ。

問題44の(3)や、問題45の(2)のような式変形を、こんな天才的な発想出来ないでしょ！と思うのは僕だけでしょうか。解説を見れば何をしているのかはわかるのですが、問題によってやり方も様々で、慣れとかでどうにかなるものなのかと思ってしまいます。 何かコツや、式変形の対応デッキ... 続きを読む

基礎問 76 MAN AV 44 はさみうちの原理(I) 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 2">n を示せ. (2) 数列の和 Sm= (1)をnで表せ。 (n=k(k≧1) のとき,2">k と仮定する. 両辺に2をかけて, 22k ここで, 2k-(k+1)=k-1≧0 (≧1 より) ..2'+'>2k≧k+1 すなわち, 2+1>k+1 よって, n=k+1 のとき, ① は成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて, 2">n は成りたつ. (3) lim Sm を求めよ. (1) 考え方は2つあります。 ... 1 2 n (2) Sm = + 4° 4' +・・・+ ...... ② 4"-1 1/Sn= 1 n-1 n +・・・+ + ......3 4₁ 4"-1 4" ② ③ より 3 (IIB ベク4 ) Sn= + 1 1 n -(+) +...+ n 4' 4"-1 -Sn= 4 1 4" I. (整数)” を整式につなげたいとき, 2項定理を考えます。 II. 自然数に関する命題の証明は数学的帰納法. (IIB ベク137 (2) 本間のΣの型は, 計算では重要なタイプです. (IIB ベク121 S=Σ(kの1次式)rk+c (r≠1) は S-S を計算します。 (3) 極限が直接求めにくいとき, 「はさみうちの原理」 という考え方を用います。 bn≦a≦cm のとき .. Sn= n (3)(1)より2">n だから, (2")'>n . 4">n²=0<< 20< n 4 4-1 n lim40 だから、はさみうちの原理より lim 11-∞ n n - 4-1 -=0 limb= limcn=α ならば liman = α →00 11-00 この考え方を使う問題は,ほとんどの場合, 設問の文章にある特徴がありま す. (ポイント) さらに, lim lim (14) "=0 より lim.S,=- 16 11-00 9 「ポイント 解答 (1) (解Ⅰ) (2項定理を使って示す方法) (x+1)"=2,Chr" に x=1 を代入すると k=0 2"=nCo+mCi+nCz+... +nCn n≧1 だから 2"≧Co+nCi=1+n>n .. 2">n (解II) (数学的帰納法を使って示す方法) 2">n ...... ① (i) n=1のとき (左辺) =2, (右辺) =1 だから, ①は成りたつ 演習問題 44 極限を求める問題の前に不等式の証明があれば, はさみうちの原理を想定する 次の問いに答えよ. (1) すべての自然数nについて, 不等式 3"> n" が成りたつこと 数学的帰納法を用いて証明せよ。 "k =215730 (n=1,2, …) とおく。このとき, (2) Sm= 2 k=1 1 n 3 3+1 (3) lim Sm を求めよ. 11-00 が成りたつことを示せ. CS CamScanner 第4章

剰余の定理についてですが、右下のポイントにある、「fxをgxhxで割った余りとRxをgxで割った余りは等しい」というのはなぜでしょうか？ 今まで理屈は考えずに暗記していたため、この定理を用いた問題に出会った時に対応できませんでした。 回答お願いします。

第2章 基礎問 44 第2章 複素数と方程式 26 剰余の定理 (III) (1) 整式P(z) を-1, r2, æ-3でわったときの余りが,そ れぞれ 6, 14, 26 であるとき,P(x) を (x-1)(x-2)(x-3) で わったときの余りを求めよ. (2) 整式 P(x) を (x-1)でわると, 2-1余り, -2でわると 5余るとき,P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りを求めよ. 精講 (1) 25 で考えたように、余りはax2+bx+cとおけます. あとは, a, b, c に関する連立方程式を作れば終わりです。 しかし, 3文字の連立方程式は解くのがそれなりにたいへんです. そこで250の考え方を利用すると負担が軽くなります。 (2) 余りをax2+bx+c とおいても P(1) P(2) しかないので,未知数3つ, 等式2つの形になり, 答はでてきません。 解答 .. .. :. -2a-2b+26=6 .-2a-6+26=14 [a+b-10=0 2a+b-12=0 a=2,b=8 よって, R(x)=(2x+8)(x-3)+26 =2x2+2x+2 注 (別解)のポイントの部分は,P(3)=R(3) となることからもわ かります. (2) P(x) を (x-1)(x-2) でわった余りをR (z) (2次以下の整式) と おくと,P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+R(x) と表せる. ところが,P(z) は (x-1) でわると2-1余るので,R(x) も (x-1)^ でわると2x-1余る. よって, R(z)=a(x-1)2+2x-1とおける. ∴. P(x)=(x-1)(x-2)Q(z)+α(x-1)^+2x-1 P(2) =5 だから, a+3=5 . a=2 よって, 求める余りは, 2(x-1)2+2x-1 すなわち, 2x²-2x+1 3次式でわった余り ポイント (1) 求める余りはar' +bx+c とおけるので, P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(z)+ar'+bx+c は2次以下 と表せる. P(1)=6,P(2)=14,P(3) = 26 だから, [a+b+c=6 ......① 4a+26+c=14 ...... ② 連立方程式を作る f(x)をg(x)h(x) でわったときの余りをR(x) とす ると f(x)をg(x) でわった余りと R(x)をg(z) でわった余りは等しい (h(x) についても同様のことがいえる) 45 19a+36+c=26 ...... ③ ① ② ③より, a=2, 6=2,c=2 よって, 求める余りは 2x'+2x+2 注25 の考え方を利用すると、次のような解答ができます。 (別解) P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+R(z) P(x) はx-3でわると26余るので (R(x)は2次以下の整式) R(x) もェ-3でわると 26余る. <ポイント Barn Score 36x-37 CS よっと P(1)=6,P(2)=14 より,R(1)=6, R(2)=14 わったときの商 演習問題 26 (1) 整式P(x) をx+1, x-1, x+2でわると, それぞれ 3, 7, 4余る. このとき,整式P(z) を (x+1)(x-1)(x+2) でわったときの余 りを求めよ. (2)整式P(x) を (x+1)2でわった余りが2x+1, -1でわった余 りが1のとき, 整式P(z) を (x+1)2(x-1)でわった余りを求 めよ.

(2)の問題で平方完成をする所までできるのですが、 最小値の求め方とその時のaの値の求め方が分からないです💦

令和6年度 夏期補習 数学(標準) チャレンジ演習② 次の問題について, 太郎さんと花子さんが会話している。 会話文を読んで以下の問いに答 えよ。 [問題] 実数 αに対し, f(x)=x2-2(3a²+5a)x+18a +30a' + 49a2+16 とおく。 αが実数全体を動くとき 2次関数y=f(x) のグラフの頂点のy座標の最小値 を求めよ。 (1) 太郎: 計算すると ア 2+ イ ウ a, 4 la^+ エオ a2+カキが頂点 の座標だとわかったよ。 花子: 頂点の座標が4次式だよ。 どうやって最小値を求めればいいんだろう。 太郎: t=ax とおけば頂点のy座標は2次式になるから,解けるはずだよ。 花子:本当だ。 ウエオ+ カキについて考えればいいんだね。 太郎: 平方完成してみると最小値は0になる(A)ことが分かるね。 花子 : 私は違う答えになったけど・・・。 ~ カキに当てはまる数を答えよ。 (2) 太郎さんの下線部(A) の発言は,誤りである。 正しい最小値はクケであり,その ときのαの値は コ である。 (3)(i) 次の①~③の関数のうち, 下線部(X)のように置きかえることで 太郎さん･花子さんと同様の方法で頂点のy座標をtの整式で表せるものを1つ選 なお,そのような関数は複数あるが解答は1つでよい。 サ © y= −x²+2a²x−4a²+8 ① y=2x2+8ax+5a+2a +4 ② y=x2-2ax+3a-a3+2 ③ y=x2-2ax-a-a2-3 (ii) サで選んだものについて、頂点のy座標の最小値を次の①~⑦のうち 1つ選べ。ただし,最小値がない場合は ⑦を選べ。 0 0 0 1 ② 2 ②③ 3 4465 60

数学の三角関数について ①sin cosのグラフがよくわかりません、グラフが横軸だったら、cosで、グラフが縦軸だったらsinってことですか？ ②なんで、P’Q’だけ絶対値が使われるのですか？

数学Ⅱ・数学B・数学C 第1問 (必答問題) 300 (1) 平面上の原点を中心とする 径1の円周上に である点 をとり、動径OP のなす角を(く の正の部分と )とする。ま O P x た。点Pを原点の周りにだけ回転 Q、点P,Qからx軸に それぞれ重線PPQQを下ろす。 (1)P,Qの座標をそれぞれを用いて表すと P ア Q ウ である。 ア - I に当てはまるものを、次の①~⑤のうちから一つ ずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 sin 1 cos ② tan 3 - sin 0 ④ - cose 6-tan 0 数学Ⅰ・数学B・数学C (2)96囲を働くものとする。このとき、自分および分 PQの数である。 PQ=S(9), PQ'=pfy とするとき、前のグラフは のグラフは カ のようになる、 ターの ほ、グラフとして 最も適当なものを、次の国号のうちから一つずつ選べ。 y (4) O 0 0 T 0 0

（1）ではなぜ余りの部分をax²+bx+c にしないのかと、途中の式変形を教えていただきたいです。 （2）ではなぜ3k,3k+1,3k+2と場合分けしているのかを教えていただきたいです。

28 第1章 式と証明 問 9 整式の割り算(3) m, nは正の整数とする。 (1) 3m +1 を 1 で割ったときの余りを求めよ。 (2) +12+x+1で割ったときの余りを求めよ。 これは=0 (n (室蘭工業大) 以上より、 + n=3k(k → 精講 (2) (1)において -1=(x-1)(x2+x+1) より, n=3kのとき は、処理済です. あとは, n=3k+1,3k+2 と場 合分けして調べていきましょう. (1) cam=(x3-1+1)^ = (X+1)" とみて展開 (1) まずは3m を -1で割るこ解法のプロセス とを考えます. n=3k+1 n=3k+2 (2)n=3k, 3k+1, 研究 (2) 3k+2 と場合分けする 解答 (1) x3m+1=(x3)"+1=(x-1+1)"+1 X=x-1 とおいて二項展開すると x3m+1= (X+1)"+1 ={(Xの1次以上の整式)+1}+1 =X(Xの整式)+2 =(-1) (zの整式) +2 よって, x3m+1 を-1で割った余りは 2 (2)(1) より が正の整数のとき これは 二項定理より た余り (X+1)m =mCoX™•10+mCiX~1.14+ この ...+mCmX1" すなわ よい 3k+1=(x-1)(x の整式) +2 である. =(x-1)(x²+x+1)Q(x)+2 (Q(x)はxの整式) n=3k のとき, "+1 を x'+x+1 で割った余りは2である. n=3k+1 のとき,①の両辺にxをかけて, 変形すると 3k+1+x=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+2x 3k+1=(x2-x)(x²+x+1)Q(x)+m ・② 3k+1+1=(x2-x)(x'+x+1)Q(x)+x+1 これはk=0 (n=1) のときも成り立つ. n=3k+2 のとき,②の両辺にxをかけて, 変形すると mak+2=(x-x2)(x'+x+1)Q(x) +x m3k+2+1=(x-x2)(2+x+1)Q(x)+x2+1 =(x-1)(x'+x+1)Q(x)+(x²+x+1)-x で

剰余の定理の問題です。 緑ラインが引いているところで、(x-1)二乗はどこから割り切れることがわかったのでしょうか? 教えていただきたいです。

Exercise 74 整式P(x) は (x-1)2で割ると5x-7余り, x-2で割ると10余る。 P(x) を (x-1)2(x-2) で割った ときの余りを求めよ。 [解] P(x) をx2で割ると10余ることから P(2) =10 ・・・ P(x) を (x-1)(x-2)で割ったときの商をQ(x) とし 余りは2次以下の整式であるから ax +bx+c とおくと P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax²+bx+c x=2 を代入すると,① より 4a+26+c=10 *** また,P(x) を (x-1)2で割った余りは、 (x-1)^(x-2)Q(x)が(x-1)^ で割り切れることより, ax2+bx+cを (x-1)^ で割った余りに等しい。 a (山梨大) 実際に割ると余りは (2a+b)x-a+c となり,これが5x-7に等しいことから 2a+b=5 (3) -a+c=-7 ･･･ ② ③ ④ より a=7,6=-9c=0 よって, 求める余りは x9x x²-2x+1) ax2 +bx +c ax2 -2ax (2a+b)x-a+c ta

線を引いた部分がなぜそうなるのかわからないです

289 整式 f(x) を x+5で割ると余りが-11, (x+2)2で割ると余りがx+3とな る。このとき,f(x) を (x+5)(x+2)2で割ったときの余りを求めよ。 [15 立教大〕

（ア）の問題についてです。 解いてみたのですが答えが合いません。 間違っているところをご指摘して頂きたいです。

● 6 整式の割り算/2つの余りの条件 (ア) 整式f(x) はæ-1で割ると余りが3である.また, f (x) をx'+x+1で割ると余りが 4+5である. このとき,f(x) を3-1で割ったときの余りを求めよ. (関西大 総合情報) (イ) 整式f(x) をx2-4x+3で割ったときの余りは+1であり2-3x+2で割ったときの余 りは3-1である. f(x) を x3-6x2+11x-6で割ったときの余りを求めよ. (秋田大 医) 2つ目の条件の反映させ方 (ア)のように,2つの余りの条件がある場合,それらの割る式を掛け合 わせた式で割ったときの余りを求めることが多い。 (ア)を例にして説明しよう。 一方の余りの条件(割 る式の次数の高い方 いまは2+x+1) の商をA (x) とおくと, f(x)=(x2+x+1)A(x)+4 +5•••アと表せる. いま, f(x) をx-1=(x-1)(x2+x+1)で 割った余りを求めたい. そこで,x 3-1が現れるように, A (x) をæ-1で割ることを考える. A (x) を x-1で割った商をB(x), 余りをとして, A(x)=(x-1)B(x)+rとおき,アに代入する.この式 に対して,もう一方の余りの条件を反映させてを求めれば,-1で割った余りが分かる. 解答量 (ア) f(x)=(x+x+1)A(x)+4+5 A(x)=(x-1)B(x)+r と表せるから, f (x)=(z+x+1){(x-1)B(x)+r}+4m+5 =(x-1)B(x)+r(x2+x+1)+4 +5 f(x) をx-1で割ると余りが3であるから, 剰余の定理により, f (1)=3 ①にx=1を代入して, f(1)=3r+9 .. したがって, ①により, 求める余りは, 3r+9=3 r=-2 ・① ←前文参照. f(x) を-1で割った余りは2 次以下になるが, ①により, f(x) をx-1で割った余りが r(x'+x+1)+4+5であるこ とが分かる.あとはを求めれ ばよい. -2(x2+x+1)+4x+5=-2x2+2x+3 (イ)-4x+3=(x-1)(x-3), x2-3x+2=(x-1)(x-2), x³−6x²+11x−6=(x−1)(x²-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3) であることに注意する. f(x) をx2-4x+3で割った余りがx+1である. 商を A(x) とおくと, f(x)=(x-1)(x-3)A(x)+x+1 x-6x2+11c-6にx=1を代入 すると0になるから, 因数定理に よりæ-1で割り切れる (次章の ◇4 を参照). ① ここで,A(x)=(x-2)B(x)+rと表せ,これを①に代入して A (x) をx-2で割った商が 2 B(x), 余りが (1次式で割った から,余りは定数). f(x)=(x-1)(x-3){(x-2)B(x)+r}+x+1 一方,f(x) をx2-3x+2で割った余りが3-1であるから, f(x)=(x-1)(x-2) Q(x)+3x-1. と表せる.上式にx=2を代入して,f(2)=5. ②にx=2を代入して, .. -r+3=5 .. r=-2 f(2) =-r+3 ②から,f(x)=(x-1)(x-2) (x-3)(x)-2(x-1)(x-3)+x+1 を求めるには,②でB(x)が消 えてrが残るx=2に着目. m したがって, 求める余りは,=-2x2+9x-5 wwwwwwwwwwwww