なんでa≠0だとaが消えるんですか？

3 2章 7 2次関数の最大・最小 2x/21× 思考プロセス 問題 80 2次関数の決定 [2] グラフが次の条件を満たすような2次関数を求めよ。 (1)頂点がx軸上にあり, 2点 (4, 4), (0, 36) を通る。 (2)y=2xのグラフを平行移動したもので、点(23) 通り,頂点が直 線 y=2x-1 上にある。 条件の言い換え 頂点に関する条件に を引いた。 (1)頂点がx軸上にある (2)頂点が直線 y=2x-1 上にある y=2x のグラフを平行移動したもの 頂点は点(p, 0) とおける 頂点は点(b, 2-1 とおける x の係数は2(例題 64 参照) Action» 2次関数の決定は、頂点に関する条件があれば標準形でおけ (1)頂点がx軸上にあるから、求める2次関数は関求める2次関数を標準形 y=(x-p)と表される。 ただし a ≠ 0 とする。 I .② y=a(x-b)+g でおき, 頂点がx軸上にあること から,g=0 とする。 ま た 2次関数であるから, α 0 である。 79 点 (4, 4) を通るから 4 = a(4-p)² 点 (0, 36) を通るから 36 = ap² ②-1×9 より 0=ap2-9a(4-D)2 α 0 より 定数項をそろえる。 0 = p²-9(4-p)² これを解くと p = 3,6 1001 (S-1)6= ②より,p=3 のとき a=4 p = 6 のとき a = 1 y=4(x-3)', y=(x-6)2 よって、求める 2次関数は 4 (2)頂点が,直線 y=2x-1 上にあるから,頂点は点(y=x12x+36 と答え 24 てもよい 8+°(g-)-= 小y=4x-24x+36,

なんでa≠0だとaが消えるんですか？

3 2章 7 2次関数の最大・最小 2x/21× 思考プロセス 問題 80 2次関数の決定 [2] グラフが次の条件を満たすような2次関数を求めよ。 (1)頂点がx軸上にあり, 2点 (4, 4), (0, 36) を通る。 (2)y=2xのグラフを平行移動したもので、点(23) 通り,頂点が直 線 y=2x-1 上にある。 条件の言い換え 頂点に関する条件に を引いた。 (1)頂点がx軸上にある (2)頂点が直線 y=2x-1 上にある y=2x のグラフを平行移動したもの 頂点は点(p, 0) とおける 頂点は点(b, 2-1 とおける x の係数は2(例題 64 参照) Action» 2次関数の決定は、頂点に関する条件があれば標準形でおけ (1)頂点がx軸上にあるから、求める2次関数は関求める2次関数を標準形 y=(x-p)と表される。 ただし a ≠ 0 とする。 I .② y=a(x-b)+g でおき, 頂点がx軸上にあること から,g=0 とする。 ま た 2次関数であるから, α 0 である。 79 点 (4, 4) を通るから 4 = a(4-p)² 点 (0, 36) を通るから 36 = ap² ②-1×9 より 0=ap2-9a(4-D)2 α 0 より 定数項をそろえる。 0 = p²-9(4-p)² これを解くと p = 3,6 1001 (S-1)6= ②より,p=3 のとき a=4 p = 6 のとき a = 1 y=4(x-3)', y=(x-6)2 よって、求める 2次関数は 4 (2)頂点が,直線 y=2x-1 上にあるから,頂点は点(y=x12x+36 と答え 24 てもよい 8+°(g-)-= 小y=4x-24x+36,

なんで等号が成り立つときが最小となるのか説明を読んでも分からなくて詳しく教えてほしいです。

★★★ めよ。 とその 数の 小 を残した 直す 5 30+ 1214 例題 78 2変数関数の最大・最小) 宝 xyが実数の値をとりながら変化するとき,P=x-2xy+3y²-2x+10y +1 の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。 例題77との違い fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。 るから 消去す 関数 縦軸 主意 =(x-y-1)+2y2 +8y ={x-(y+1)}- (y + 1) + 3y2 + 思考プロセス 見方を変える lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。 ① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x'+x+の最小値を (yを固定する) ②y を変数に戻す ( y を動かす ) yの式で表す。 m =(yの式) の最小値を求める。 Action» 2変数関数の最大・最小は, 1変数のみに着目して考えよ Pをxについて整理すると P = x2 -2xy +3y2 - 2x + 10y +1 = x2-2(y+1)x +3y2 + 10y + 1 全国 3 求める 10y +1 ( (02) ら =(x-y-1)2+2(y+ 2)2-8 xyは実数であるから (x-x-1)2 ≧ 0, 等号が成り立つのはx-y-1 = 0 かつ y + 2 = 0 すなわち x = -1, y = -2 2(y+2) ≧0 +(-S)D=2 +5 より, Pは最小値 -8を xについての2次式とみ て, 平方完成する。 yは 定数とみて考える。 yを定数とみたときの最 小値はm= 2y2+8y この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 【実数) 20 HPの2つの()内が 0となるとき, (0)2+2(0)2-8=-8 2次関数の最大・最小 +2 6 3 2 のときである。 とる。 したがって x=-1,y=-2 のとき 最小値-8 + Point... 式の見方を変える をαに置き換えて例題 78 を書き直すと,次のような問題になる。 xの2次関数 y=x-2(a+1)x+32 + 10g +1 について (1)最小値をαの式で表せ。 20 (2)αの値が変化するとき, (1) で求めた最小値 m の最小値を求めよ。 解 (1) y={x-(a+1)} +2a2+8a より .0 そのグラフは、頂点 (a + 1, 24 +84) 下に凸の放物線であるから 最小値 m = = 2a² +8a (2)=2a2+8a=2(α+2)2-8 より mは α = -2 のとき,最小値-8をとる。 ■ 78 x, y が実数の値をとりながら変化するとき, P=2x2+2xy +y-6x の最小値およびそのときのx,yの値を求めよ。

数IIの微分の問題です なぜa＝4とだして、これを使って場合分けをするのでしょうか？

要 例題 192 区間全体が動く場合の最大・最小 00000 (x)=x10x2+17x +44 とする。区間x+3 における f(x)の 最大値を表す関数g(α)を, αの値の範囲によって求めよ。 CHART & THINKING 最大最小 グラフ利用 極値と端の値に注目 αの値が変わると 区間 a≦x≦a+3 が動くから, αの値によって場合分けする。 場合分けの境目はどこになるだろうか? 基本190 y=f(x) のグラフをかき, 幅3の区間 a≦x≦a+3 を左側から移動させながら考えよう。 ・極大値をとるxの値が区間内にあるか、区間の両端の値(4) f(u+3)のどちらが大 いかに着目すればよい。f(α)=f(a+3) となるαの値も境目となることに注意。 解答 f(x)=3x²-2x+17=(x-1)(3x-17) 17 x *** 1 3 f'(x) = 0 とすると 17 x=1. 3 f'(x) + 0- 0 + 増減表から,y=f(x) のグラフは右下のようになる。 f(x) 極大 極小 [1] a+3<1 すなわち α <-2 のとき g(a)=f(a+3)=(a+3)3-10(a+3)2+17(a+3)+44 =α-α-16a+32 {2} a+3≧1 かつα <1 すなわち −2≦α <1 のとき g(a)=f(1)=52 a≧1 のとき, f(a)=f(a+3) とすると a3-10a2+17a+44-a³-a²-16a+32 整理すると 94²-33a-12=0 よって (3a+1) (α-4)=0 [3] 1≦a<4 のとき [4] 4≦a のとき a≧1 から a=4 g(a)=f(a)=α-10² +17a +44 g(a)=f(a+3)=α-α-16a+32 {1} y+ y=f(x) Linf. a+3 ya y=f(x) 52 44 17 3 [2] Ay y=f(x); [3] y y=f(x) [4] y=f(x); 52 0 14+317 x 3 a a+3 a a4 のとき,最大値を異なるxの値でとるが,xの値には言及していないの 4≦a として [4] に含めた。

269(2)についてです。解答は理解できるのですが自分の答案がなぜ違うのか分かりません。根本から違うのでしょうか。回答お願いします。

E a= 2 関数の最大値と,最大値をとるxの値を求めよ。 (2)x=a+1において最大値をとるときのαの値の範囲を求めよ。 B [類 18 慶応大] *269 実数x,y,zがx2+y+z=3, y+z=√3 を満たすとき,次の問いに 答えよ。 3 (1)x+y+z をxの式で表せ。 (2) xのとりうる値の範囲を求めよ。 88 (3)x +y' + 2 の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。 270p p≧0 を満たす定数とし, 関数 f(x) を x3-3x2+(9-12)x と定める。 f(x)=1/2x-33 (1)p=1のとき,y=f(x) のグラフをかけ。 (2) f'(x) = 0 となるxの値をを用いて表せ。 (3) [17 日本女子大] STE

赤線のところなのですが、なぜtの変域を定める必要があるのでしょうか。sに変域があるからですかね、

360 基本 例題 123 2次曲線上の点と定点の距離 楕円 C: x2 +y2=1 上の x≧0 の範囲にある点をPとする。点Pと定点 3 A(0, -1)の距離を最大にするPの座標と,そのときの距離を求めよ。 CHART & SOLUTION 曲線上の点と定点の距離の最大値・最小値 (距離) の式で考える 曲線上の点P (s,t)の満たす条件から、 (距離) すなわち AP2はもの2次式で表される(P のx座標についての条件 s≧0 に注意)。 よって, tの2次関数の最大値問題の値の範囲に注意) として解くことができる。 解答 P(s, t) とする。 ただし, s≧0とする。 点Pは楕円C上の点であるから (1-) s² -+t=1 ...... ① x 3 よって s2=3(1-t2) -1 A s2≧0 であるから 3(1-2)≥0 ゆえに t1 ...... ② したがって AP2=s2+(t+1)2 =3(1-t2)+(t+1)2 =-2t2+2t+4 ← s≧0からtのとりう る値の範囲を求める。 ②の範囲のについて,AP2 は t=1/23 で最大値 1/2をとる。 AP≧0 であるから, AP2が最大のとき, APも最大となる。 1-1/2 のとき,①から / +1-1 t= s≧0 であるから S= 3 3 2 ゆえに,P(23, 1/12) のとき最大となり、そのときの距離は 19 3√2 V2 = 2 2次関数の最大・最小は y=a(x-p)+q に変形して考える。

この問題、hの範囲は考えていますがrの範囲は考えなくてよいのですか？ どなたか教えて下さい。

107 図形と最大最小 h, 微分積分 半径1の球面に内接する円柱について考える.このような円柱の高さを (1)んで表せ 底面の円の半径を、体積をV とする. (2) Vの最大値を求めよ. が成り立つ、したがって, r = 解答 (1) 図の三角形OAB に三平方の定理を用いると +(1/2)=1より、ニゲ 4-h (長崎大) 4 4 √√4-h² O 2 (2)(1)の結果を用いると, V = r²h=π- 4-h² 4 h=(4-h²) h 2 B ここで,f(n)=(4-1)n=(4h-h) とすると, f'(h)=(4-3h²)=√3h+2)(√3h-2) 条件より, 0くん<2であり, この範囲における増 減表は右のようになる。 球面の半径が1 (直径2) であるから,0くん<2であ ることにも注意して考える 2 h 0 ... 2 3 2 以上より,Vはん=- で最大になり,最大値は, [f'(h) + 0 √3 九 2 4√3 f(h) > 最大 4- = -π √3 9 解説講義 f(h)=(4-h²)hh= を代入した 2 √3 2次関数の最大最小問題では「頂点」と「定義域の端の値」に注目した.3次関数の最大 最小問題では「極値」と「定義域の端の値」に注目してみるとよい。ただし,2次関数のと きと同じように、定義域をきちんと確認しないといけない. 本間では,円柱が半径1の球面 に内接しているので,高さんは0くん<2である. このような定義域(範囲の制限)のある関数の増減表を書くときは、定義域の左端と右端 が入る欄を用意して書くことが一般的である.また,増減表の3行目の矢印からんの ときにf (h)が最大になることが読み取れるので, グラフを描く必要はない. 文系 数学の必勝ポイント 3次関数の最大最小問題 √3 「極値」と「定義域の端の値」に注目する

数II 三角関数 方程式の問題です。この問題の解き方を教えてください。

300<2πのとき, 関数 y=sin' + 2sin 0 の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの0の値を求めよ。 【4点】 ( 思) ((axes)

(2)の問題です。蛍光ペンで引いた範囲のところなのですがどうしてこの範囲になるか分からないので教えて欲しいです。どうして2が出てきたんですか

35 最大・最小(1) (1)関数y=-2x+1(−2≦x≦3) の最大値、最小値を求めよ。 (2)関数y=x-1+|2-4 (1≦x≦3) の最大値、最小値を求めよ。 (3) y=x- よって グラフは (i) πがす また、エ

最大最小はわかったのですが、θの値がどうやって求めるのかわかりません。教えてください

2 三角関数最大・最小 0≤0 <2 のとき, 関数 y= cos20 sin0 +1... (i) の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときの0 の値を求めよ。