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【3】 nを自然数として,xの整式f(x)=(x+1)" を考える。 次の問いに答
えよ.ただし、 必要ならば, 二項定理
(a+b)"=, Coa"+,Cla-16+, C24"-262+...
を用いてよい。
(1) n=3 とする。
(i) f(x) を整式x-2で割ったときの余りを求めよ.
(ii) f(x) を {2+ (x-1)} とみて変形することにより. f(x) を整式
(x-1)で割ったときの余りを求めよ。
(2) f(x) を整式 (x-1)で割ったときの商をQ(x), 余りをR(x) とする。
(i) R(x) を求めよ.
(ii) Q(x) を整式x2で割ったときの余りを求めよ。
(3) f(x) を整式 (x-1)' (x-2)で割ったときの余りをS(x) とする, S(x)
を整式xで割ったときの余りをすると.tは整数となる。 整数を4
で割ったときの余りを求めよ.
... + C-2426-2+,C_14ba-1+,C,b*
考え方
(1Xi) 実際に割り算を実行して解くこともできますが、 剰余の定理を利用する
と楽に解けます。
(i) これも割り算を実行して解くことができますが, f(x) を {2+ (x-1)}a
とみて変形すると (x-1) g(x) +ax+βの形にすることができます. この
ax+βの部分が求める余りです。
(2Xi) f(x) = {2+(-1)}" と変形して、 二項定理を用いると R(x) が求まりま
す。
(i) (i)の R(x) を利用すると剰余の定理を用いてQ(x) をx2で割ったとき
の余りが求まります。
(3) 商と余りの定義と (2) の結果を用いると S(x) が求まります。 さらに剰余の
定理を用いると が求まります. ≧2のとき2"が4の倍数であることに気
付けば, tを4で割ったときの余りは, 3" を4で割ったときの余りを調べる
ことで求まります. 3"= (-1+4)" とみて二項定理を利用してみましょう。
【解答】
(1) n=3のとき, f(x)=(x+1) である.
(i) 剰余の定理より. f(x) をx-2で割ったときの余りは
f(2)=(2+1)=27
である.
(ii) f(x) を変形すると
f(x)={2+(x-1)}
である.
=8+12(x-1) +6(x-1)² +(x-1)
=8+12(x-1)+(x-1)^{6+ (x-1)}
=(x-1)^(x+5)+12-4
となるので 求める余りは
12x - 4
(2Xi) f(x) 二項定理を用いて変形すると
f(x)={2+(x-1)}"
=2"+n2"-' (x-1)
=n 2¹x-(n-2)-2-1
(40点)
-3291
f(x)=(x 1)²06)+R(r)
......
(答)
=, Co・2"+,C,2"-' (x-1)+,C22-2(x-1)2 + ···
...+... (x-1)*
となり、第1項と第2項を除けば (x-1) で割り切れるから
R(x) Co 2"+C₁-2" (x-1)
(答)
解説 1° 剰余の定理
←解説 2° 整式の除法
◆12x4の次数は (x-1) 2
数より小さい.
......
(答)
である.
(ii) 剰余の定理より. Q(x) をx2で割ったときの余りはQ(2) である。 ま
た
←.Co.2"+,C,2
数は (x-1)' の次
解説3°(別解
← 解説 1° 剰余
★ 解説 2° 整式
