Question

麦

高一、数学Aです。
この問題が分かりません。
赤線で引いてある部分についてですが、「aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しい」のなら「4n+15と3n+13の最大公約数は3n+13とn+2の最大公約数に等しい」となると思ったのですが、なぜ「4n+15と3n+13の最大公約数はn+2と7の最大公約数に等しい」となっているのでしょうか？

どなたか教えて下さい。

281 4n+15と3n+13の最大公約数が7になるような 50 以下の自然数n をす
べて求めよ。 ただし,次のことを用いてよい。
IVE
等式 a=bg+r を満たす自然数a,b,g,rについて,
aとbの最大公約数はbとrの最大公約数に等しい。
APB 6
区
▼

281
1-18-8-0112r.
4n+15=(3n+13)·1+n+2
3n+13=(n+2) ・ 3 +7
よって, 4 +15と3n+13の最大公約数はn+2
と7の最大公約数に等しい。
ゆえに, n +2は7の倍数である。
また, 3≦n+2 ≤52 であるから
>n+2=7,14,21, 28,35,42,49
したがって
n=5, 12, 19, 26, 33, 40, 47

ユークリッドの互除法 互除法