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口
重要 例題127 2次方程式の解と数の大小 (3)
OOOO0
197
方程式x°+(2-a)x+4-2a=0が-1<x<1の範囲に少なくとも1つの実数解
をもつような定数aの値の範囲を求めよ。
基本 125,126
指針>
[A] -1<x<1の範囲に,2つの解をもつ(重解を含む)
[B] -1<x<1の範囲に, ただ1つの解をもつ
ような場合が考えられる。 [B] の場合は, 解答の [2]~ [4] のように分けて考える。
例題125, 126同様, D, 軸, f(k) が注目点である。
解答
判別式をDとし,f(x)=x°+(2-a)x+4-2aとする。
3章
f(-1)=-a+3, f(1)=-3a+7
[1] 2つの解がともに -1<xs1の範囲にあるための条件は
D=(2-a)°-4-1·(4-2d)-0
(交点が
13
D-0
2
の
「D>0
次
2-a
不
2-a
<1
2
軸x=-
「1
-1
について
2
等
程式である。
係数)キ0に出
(-1)=-a+3>0
のから
ゆえに aミー6, 2冬a
f(1)=-3a+7>0
(a-2)(a+6)20
の~のを解くと, 解は順に
3)
a+4a-1220
よって
-1
の, a<
3
0<a<4
冒針のグラフト
, a>0(ガ)
コく0 (グラフ
れの場合も
(0)<0か
(2)<0
『を満たす結
6~8の共通範囲は" 2<a<
3
[3] a=3
[4] a=
[2] 解の1つが -1<x<1,他の解がx<-1または1<xにあ
るための条件は f(-1)f(1)<0 :::(-a+3)(-3a+7)<0
ゆえに<a<3
3
7
2
よって
(a-3)(3a-7)<0
f(-1)=0
1)
ゆえに
a=3
よって
このとき, 方程式は x°-x-2=0. (x+1) (x-2)=0
よって,他の解はx=2 となり, 条件を満たさない。
[4] 解の1つがx=1のときは
ーa+3=0
などと場的
5必要はない
a
0 2734
3
-6
f(1)=0
2)
7
a=
3
rlllh
よって
-3a+7=0
ゆえに
3
a
2
3
このとき,方程式は 3x°-x-2=0 .. (x-1)(3x+2)=0
[1], [2] で求めたaの値の範
囲と,[4] で求めたaの値を
合わせたものが答え。
2
よって,他の解は x=-
となり,条件を満たす。
3
2Sa<3
[1]~[4] から?)
練習
方程式x°+(a+2)x-a
または
T|0
