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TOMAC
C2-38
(386)
第5章 複素数平
Think
例題 C2.19 方程式の解
(1) 方程式 2=1 を解け
(2)883の4乗根を求めて、複素数平面上に図示せよ。
[考え方 α(複素数)の解を求めるには、αを極形式で表しを極形式
z=r(cos0+isin 0) (r>0) とおく。
2はドモアブルの定理を利用する.
両辺の絶対値と偏角を比較する.
(2)883iのすべての解が8+8√3i の4乗根である。
(1)=r(cos0+isin0)(r>0,0≦6<2z) とおくと
2°=r(cos60+isin 60)
解答
また, 1=cos0+isin0
2 =1であるから,
****
↑極形式で表す時の決まりみたいなも
0.2.4...
両辺を
極形式で
比較
絶対値
r(cos60+isin60)=cos0+isin 0
両辺の絶対値と偏角を比較して,
r=1
r>0より。
r=1
比較
60=2xk (kは整数) より
0=xk
3
偏数
3
ここで、002、すなわち,0≦x<2であるから、これを満たす
kの値は, k= 0, 1,2,3,4,5
したがって、2=1の解は、z=1-{cos(nxk)+isin(xk)}
と表せるの
で,求める解は,
+
0
=1200
k=0 のとき
zo=cos0+isin0=1sin
k=1のとき,
Z₁=cos+isin
n_13
+
-i
3 2 2
k=2のとき,
+2 [2]]]
22=cos+isin-=-
3
1-2
√3.
+
i
2
k=3のとき,z3=cos+isinz=-1
k=4 のとき,
4
z4=cosgrtisingn=
4
[32
12
√3
k=5のとき,
よって,
土 -i,
100円
2
24=-8+8
(2)
比較
絶対感
25=COSπtisin π=
1v3
z=±1,
8+8√3iの4乗根を z= (coso+isin) (r>0,0≦02) とおくと、
ź^=y(cos40 + isin40)=18+8
1001 010
8+8/3i=16/cos/3rtisin/27) であり2=-8+8/3i であるから、
r(cos40+isin40)=16(cos / n+isin / 27 )
両辺の絶対値と偏角を比較して,r=16
r>0より, r=2
5
5
13
√3.
-i
31 2 2
sino.
+ -i
√3
2
2
それ
(T) BS
OP (S)
